MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmin1 12564
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmin1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrmin1
StepHypRef Expression
1 iftrue 4472 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
21adantl 484 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3 xrleid 12538 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
43ad2antrr 724 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
52, 4eqbrtrd 5080 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
6 iffalse 4475 . . . 4 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
76adantl 484 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8 xrletri 12540 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
98orcanai 999 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
107, 9eqbrtrd 5080 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
115, 10pm2.61dan 811 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  ifcif 4466   class class class wbr 5058  *cxr 10668  cle 10670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675
This theorem is referenced by:  xrltmin  12569  xrlemin  12571  min1  12576  mnfnei  21823  stdbdxmet  23119  stdbdmopn  23122  metnrmlem1a  23460  dvferm1lem  24575  lhop1  24605  stoweid  42342
  Copyright terms: Public domain W3C validator