MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmin1 12257
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmin1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrmin1
StepHypRef Expression
1 iftrue 4283 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
21adantl 474 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3 xrleid 12231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
43ad2antrr 718 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
52, 4eqbrtrd 4865 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
6 iffalse 4286 . . . 4 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
76adantl 474 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8 xrletri 12233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
98orcanai 1026 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
107, 9eqbrtrd 4865 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
115, 10pm2.61dan 848 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  ifcif 4277   class class class wbr 4843  *cxr 10362  cle 10364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369
This theorem is referenced by:  xrltmin  12262  xrlemin  12264  min1  12269  mnfnei  21354  stdbdxmet  22648  stdbdmopn  22651  metnrmlem1a  22989  dvferm1lem  24088  lhop1  24118  stoweid  41023
  Copyright terms: Public domain W3C validator