Theorem xrmin1 13080

Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrmin1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrmin1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3		xrleid 13054	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
4	3	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	2, 4	eqbrtrd 5117	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
6		iffalse 4485	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8		xrletri 13056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
9	8	orcanai 1004	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
10	7, 9	eqbrtrd 5117	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
11	5, 10	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4476   class class class wbr 5095  ℝ^*cxr 11154   ≤ cle 11156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161

This theorem is referenced by:  xrltmin  13085  xrlemin  13087  min1  13092  mnfnei  23139  stdbdxmet  24433  stdbdmopn  24436  metnrmlem1a  24777  dvferm1lem  25918  lhop1  25949  stoweid  46188