MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletr 13141
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem xrletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 13127 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
32adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
4 xrlelttr 13139 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5 xrltle 13132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
653adant2 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
74, 6syld 47 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴𝐶))
87expdimp 453 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 < 𝐶𝐴𝐶))
9 breq2 5152 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
109biimpcd 248 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐵 = 𝐶𝐴𝐶))
1110adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 = 𝐶𝐴𝐶))
128, 11jaod 857 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → 𝐴𝐶))
133, 12sylbid 239 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐶𝐴𝐶))
1413expimpd 454 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5148  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258
This theorem is referenced by:  xrletrd  13145  xrmaxle  13166  xrlemin  13167  xralrple  13188  xle2add  13242  icc0  13376  iccss  13396  icossico  13398  iccss2  13399  iccssico  13400  icoun  13456  snunico  13460  snunioc  13461  limsupgord  15420  limsupgre  15429  limsupbnd1  15430  limsupbnd2  15431  ramtlecl  16937  letsr  18550  leordtval2  22936  lecldbas  22943  imasdsf1olem  24099  stdbdxmet  24244  ovolmge0  25218  itg2le  25481  itg2seq  25484  plypf1  25950  pntleml  27338  ewlkle  29117  upgrewlkle2  29118  nmopge0  31419  nmfnge0  31435  xrstos  32435  xrge0omnd  32487  elicc3  35505  tan2h  36783  mblfinlem3  36830  mblfinlem4  36831  itg2addnclem  36842  monoordxrv  44491  liminfgord  44769
  Copyright terms: Public domain W3C validator