MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletr 12901
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem xrletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 12887 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
32adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
4 xrlelttr 12899 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5 xrltle 12892 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
653adant2 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
74, 6syld 47 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴𝐶))
87expdimp 453 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 < 𝐶𝐴𝐶))
9 breq2 5079 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
109biimpcd 248 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐵 = 𝐶𝐴𝐶))
1110adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 = 𝐶𝐴𝐶))
128, 11jaod 856 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → 𝐴𝐶))
133, 12sylbid 239 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐶𝐴𝐶))
1413expimpd 454 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5075  *cxr 11017   < clt 11018  cle 11019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024
This theorem is referenced by:  xrletrd  12905  xrmaxle  12926  xrlemin  12927  xralrple  12948  xle2add  13002  icc0  13136  iccss  13156  icossico  13158  iccss2  13159  iccssico  13160  icoun  13216  snunico  13220  snunioc  13221  limsupgord  15190  limsupgre  15199  limsupbnd1  15200  limsupbnd2  15201  ramtlecl  16710  letsr  18320  leordtval2  22372  lecldbas  22379  imasdsf1olem  23535  stdbdxmet  23680  ovolmge0  24650  itg2le  24913  itg2seq  24916  plypf1  25382  pntleml  26768  ewlkle  27981  upgrewlkle2  27982  nmopge0  30282  nmfnge0  30298  xrstos  31297  xrge0omnd  31346  elicc3  34515  tan2h  35778  mblfinlem3  35825  mblfinlem4  35826  itg2addnclem  35837  monoordxrv  43029  liminfgord  43302
  Copyright terms: Public domain W3C validator