Theorem stdbdxmet 24454

Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
stdbdxmet	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdxmet

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetcl 24270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
3		xmetge0 24283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
4		elxrge0 13474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
5	2, 3, 4	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
6	5	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
7	1, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8		xmetf 24268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
10	9	ffnd 6707	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
11		fnov 7538	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐶 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
13		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅)))
14		breq1 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑅 ↔ (𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → 𝑧 = (𝑥𝐶𝑦))
16	14, 15	ifbieq1d 4525	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
17	7, 12, 13, 16	fmpoco 8094	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
18		stdbdmet.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
19	17, 18	eqtr4di 2788	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = 𝐷)
20		eliccxr 13452	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
21		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
22		ifcl 4546	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
23	20, 21, 22	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
24	23	fmpttd 7105	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅)):(0[,]+∞)⟶ℝ*)
25		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
26		vex 3463	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
27		ifexg 4550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
28	26, 21, 27	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
29		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 ≤ 𝑅 ↔ 𝑎 ≤ 𝑅))
30		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → 𝑧 = 𝑎)
31	29, 30	ifbieq1d 4525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅))
32		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))
33	31, 32	fvmptg 6984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅))
34	25, 28, 33	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅))
35	34	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
36		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
37	36	bibi1d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
38		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
39	38	bibi1d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
40		biidd 262	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ≤ 𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
41		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 < 𝑅)
42	41	gt0ne0d 11801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 0)
43	42	neneqd 2937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
45		0xr 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		xrltle 13165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
47	45, 21, 46	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
48	41, 47	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
49	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑅)
50		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
51	49, 50	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 = 0 → 𝑎 ≤ 𝑅))
52	51	con3dimp 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝑅) → ¬ 𝑎 = 0)
53	44, 52	2falsed 376	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
54	37, 39, 40, 53	ifbothda 4539	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
55	35, 54	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
56		eliccxr 13452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ ℝ*)
57	56	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
58	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
59		xrmin1 13193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
61	57, 58	ifcld 4547	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*)
62		eliccxr 13452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 𝑏 ∈ ℝ*)
63	62	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
64		xrletr 13174	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
65	61, 57, 63, 64	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
66	60, 65	mpand 695	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 ≤ 𝑏 → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
67		xrmin2 13194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
68	57, 58, 67	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
69	66, 68	jctird 526	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
70		xrlemin 13200	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
71	61, 63, 58, 70	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
72	69, 71	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 ≤ 𝑏 → if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
73	34	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅))
74		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
75		vex 3463	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
76		ifexg 4550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
77	75, 21, 76	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
78		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 ≤ 𝑅 ↔ 𝑏 ≤ 𝑅))
79		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → 𝑧 = 𝑏)
80	78, 79	ifbieq1d 4525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
81	80, 32	fvmptg 6984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
82	74, 77, 81	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
83	73, 82	breq12d 5132	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) ↔ if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
84	72, 83	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 ≤ 𝑏 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
85	57, 63	xaddcld 13317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
86		xrmin1 13193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
87	85, 58, 86	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
88	85, 58	ifcld 4547	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ ℝ*)
89	57, 58	xaddcld 13317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
90		xrmin2 13194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
91	85, 58, 90	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
92		xaddlid 13258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
93	58, 92	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
94	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ∈ ℝ*)
95		elxrge0 13474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
96	95	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
97	96	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑎)
98		xleadd1a 13269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
99	94, 57, 58, 97, 98	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
100	93, 99	eqbrtrrd 5143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
101	88, 58, 89, 91, 100	xrletrd 13178	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
102		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑏) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
103	102	breq2d 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
104		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑅) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
105	104	breq2d 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
106	103, 105	ifboth 4540	. . . . . 6 ⊢ ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅)) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
107	87, 101, 106	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
108	63, 58	ifcld 4547	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*)
109	58, 108	xaddcld 13317	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∈ ℝ*)
110	58	xaddridd 13259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
111		elxrge0 13474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏))
112	111	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑏)
113	112	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑏)
114	48	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑅)
115		breq2 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
116		breq2 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
117	115, 116	ifboth 4540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ 𝑏 ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
118	113, 114, 117	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
119		xleadd2a 13270	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
120	94, 108, 58, 118, 119	syl31anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
121	110, 120	eqbrtrrd 5143	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
122	88, 58, 109, 91, 121	xrletrd 13178	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
123		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
124	123	breq2d 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
125		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
126	125	breq2d 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
127	124, 126	ifboth 4540	. . . . 5 ⊢ ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
128	107, 122, 127	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
129		ge0xaddcl 13479	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
130		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V
131		ifexg 4550	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
132	130, 21, 131	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
133		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → (𝑧 ≤ 𝑅 ↔ (𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅))
134		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → 𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏))
135	133, 134	ifbieq1d 4525	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
136	135, 32	fvmptg 6984	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
137	129, 132, 136	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
138	73, 82	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)) = (if(𝑎 ≤ 𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≤ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
139	128, 137, 138	3brtr4d 5151	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) ≤ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
140	1, 24, 55, 84, 139	comet 24452	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≤ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) ∈ (∞Met‘𝑋))
141	19, 140	eqeltrrd 2835	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11129  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   +_𝑒 cxad 13126  [,]cicc 13365  ∞Metcxmet 21300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-2 12303  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13369  df-xmet 21308

This theorem is referenced by:  stdbdmet  24455  stdbdbl  24456  stdbdmopn  24457