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Theorem stdbdxmet 23871
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetcl 23684 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 23697 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
4 elxrge0 13374 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1120 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 580 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 23682 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
983ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
109ffnd 6669 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
11 fnov 7487 . . . . 5 (𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
13 eqidd 2737 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)))
14 breq1 5108 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → (𝑧𝑅 ↔ (𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅))
15 id 22 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → 𝑧 = (𝑥𝐶𝑦))
1614, 15ifbieq1d 4510 . . . 4 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
177, 12, 13, 16fmpoco 8027 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
18 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
1917, 18eqtr4di 2794 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = 𝐷)
20 eliccxr 13352 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
21 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
22 ifcl 4531 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2320, 21, 22syl2anr 597 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2423fmpttd 7063 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)):(0[,]+∞)⟶ℝ*)
25 id 22 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
26 vex 3449 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
27 ifexg 4535 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
2826, 21, 27sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
29 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑅𝑎𝑅))
30 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎𝑧 = 𝑎)
3129, 30ifbieq1d 4510 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
32 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))
3331, 32fvmptg 6946 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3425, 28, 33syl2anr 597 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3534eqeq1d 2738 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
36 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
3736bibi1d 343 . . . . 5 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
38 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
3938bibi1d 343 . . . . 5 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
40 biidd 261 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑎𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
41 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 < 𝑅)
4241gt0ne0d 11719 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 0)
4342neneqd 2948 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
4443ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
45 0xr 11202 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
46 xrltle 13068 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
4745, 21, 46sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
4841, 47mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑅)
50 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝑎𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
5149, 50syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 = 0 → 𝑎𝑅))
5251con3dimp 409 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → ¬ 𝑎 = 0)
5344, 522falsed 376 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
5437, 39, 40, 53ifbothda 4524 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
5535, 54bitrd 278 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
56 eliccxr 13352 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ ℝ*)
5756ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
5821adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
59 xrmin1 13096 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
6157, 58ifcld 4532 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*)
62 eliccxr 13352 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 𝑏 ∈ ℝ*)
6362ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
64 xrletr 13077 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
6561, 57, 63, 64syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
6660, 65mpand 693 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
67 xrmin2 13097 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
6857, 58, 67syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
6966, 68jctird 527 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
70 xrlemin 13103 . . . . . 6 ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
7161, 63, 58, 70syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
7269, 71sylibrd 258 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
7334adantrr 715 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
74 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
75 vex 3449 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
76 ifexg 4535 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
7775, 21, 76sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
78 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧𝑅𝑏𝑅))
79 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏𝑧 = 𝑏)
8078, 79ifbieq1d 4510 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8180, 32fvmptg 6946 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8274, 77, 81syl2anr 597 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8373, 82breq12d 5118 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
8472, 83sylibrd 258 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
8557, 63xaddcld 13220 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
86 xrmin1 13096 . . . . . . 7 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
8785, 58, 86syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
8885, 58ifcld 4532 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ ℝ*)
8957, 58xaddcld 13220 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
90 xrmin2 13097 . . . . . . . 8 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
9185, 58, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
92 xaddid2 13161 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9358, 92syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9445a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ∈ ℝ*)
95 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
9695simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
9796ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑎)
98 xleadd1a 13172 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
9994, 57, 58, 97, 98syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10093, 99eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10188, 58, 89, 91, 100xrletrd 13081 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
102 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑏) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
103102breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
104 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑅) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
105104breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
106103, 105ifboth 4525 . . . . . 6 ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅)) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
10787, 101, 106syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
10863, 58ifcld 4532 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*)
10958, 108xaddcld 13220 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∈ ℝ*)
11058xaddid1d 13162 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
111 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏))
112111simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑏)
113112ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑏)
11448adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑅)
115 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
116 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
117115, 116ifboth 4525 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑏 ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
118113, 114, 117syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
119 xleadd2a 13173 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12094, 108, 58, 118, 119syl31anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
121110, 120eqbrtrrd 5129 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12288, 58, 109, 91, 121xrletrd 13081 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
123 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
124123breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
125 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
126125breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
127124, 126ifboth 4525 . . . . 5 ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
128107, 122, 127syl2anc 584 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
129 ge0xaddcl 13379 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
130 ovex 7390 . . . . . 6 (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V
131 ifexg 4535 . . . . . 6 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
132130, 21, 131sylancr 587 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
133 breq1 5108 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → (𝑧𝑅 ↔ (𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅))
134 id 22 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → 𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏))
135133, 134ifbieq1d 4510 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
136135, 32fvmptg 6946 . . . . 5 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
137129, 132, 136syl2anr 597 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
13873, 82oveq12d 7375 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
139128, 137, 1383brtr4d 5137 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) ≤ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
1401, 24, 55, 84, 139comet 23869 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) ∈ (∞Met‘𝑋))
14119, 140eqeltrrd 2839 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   +𝑒 cxad 13031  [,]cicc 13267  ∞Metcxmet 20781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-xmet 20789
This theorem is referenced by:  stdbdmet  23872  stdbdbl  23873  stdbdmopn  23874
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