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Theorem stdbdxmet 23793
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmetcl 23606 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 23619 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
4 elxrge0 13302 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1120 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 580 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 23604 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
983ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
109ffnd 6664 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
11 fnov 7479 . . . . 5 (𝐢 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ 𝐢 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐢𝑦)))
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐢𝑦)))
13 eqidd 2738 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)))
14 breq1 5106 . . . . 5 (𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦) β†’ (𝑧 ≀ 𝑅 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅))
15 id 22 . . . . 5 (𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦) β†’ 𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦))
1614, 15ifbieq1d 4508 . . . 4 (𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
177, 12, 13, 16fmpoco 8015 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅)))
18 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
1917, 18eqtr4di 2795 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐢) = 𝐷)
20 eliccxr 13280 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
21 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
22 ifcl 4529 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2320, 21, 22syl2anr 597 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2423fmpttd 7057 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)):(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
25 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘Ž ∈ (0[,]+∞))
26 vex 3447 . . . . . . 7 π‘Ž ∈ V
27 ifexg 4533 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ V)
2826, 21, 27sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ V)
29 breq1 5106 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘Ž β†’ (𝑧 ≀ 𝑅 ↔ π‘Ž ≀ 𝑅))
30 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘Ž β†’ 𝑧 = π‘Ž)
3129, 30ifbieq1d 4508 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘Ž β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅))
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))
3331, 32fvmptg 6941 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅))
3425, 28, 33syl2anr 597 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅))
3534eqeq1d 2739 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = 0 ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0))
36 eqeq1 2741 . . . . . 6 (π‘Ž = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (π‘Ž = 0 ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0))
3736bibi1d 343 . . . . 5 (π‘Ž = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ ((π‘Ž = 0 ↔ π‘Ž = 0) ↔ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0 ↔ π‘Ž = 0)))
38 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑅 = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (𝑅 = 0 ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0))
3938bibi1d 343 . . . . 5 (𝑅 = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ ((𝑅 = 0 ↔ π‘Ž = 0) ↔ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0 ↔ π‘Ž = 0)))
40 biidd 261 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑅) β†’ (π‘Ž = 0 ↔ π‘Ž = 0))
41 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅)
4241gt0ne0d 11652 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝑅 β‰  0)
4342neneqd 2946 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ Β¬ 𝑅 = 0)
4443ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑅) β†’ Β¬ 𝑅 = 0)
45 0xr 11135 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
46 xrltle 12996 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
4745, 21, 46sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (0 < 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
4841, 47mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 0 ≀ 𝑅)
4948adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
50 breq1 5106 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ 𝑅))
5149, 50syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž ≀ 𝑅))
5251con3dimp 409 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑅) β†’ Β¬ π‘Ž = 0)
5344, 522falsed 376 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑅) β†’ (𝑅 = 0 ↔ π‘Ž = 0))
5437, 39, 40, 53ifbothda 4522 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0 ↔ π‘Ž = 0))
5535, 54bitrd 278 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = 0 ↔ π‘Ž = 0))
56 eliccxr 13280 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
5756ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
5821adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
59 xrmin1 13024 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ π‘Ž)
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ π‘Ž)
6157, 58ifcld 4530 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ ℝ*)
62 eliccxr 13280 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
6362ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
64 xrletr 13005 . . . . . . . 8 ((if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ π‘Ž ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏))
6561, 57, 63, 64syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ π‘Ž ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏))
6660, 65mpand 693 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏))
67 xrmin2 13025 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)
6857, 58, 67syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)
6966, 68jctird 527 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏 ∧ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)))
70 xrlemin 13031 . . . . . 6 ((if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏 ∧ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)))
7161, 63, 58, 70syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏 ∧ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)))
7269, 71sylibrd 258 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
7334adantrr 715 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅))
74 simpr 485 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
75 vex 3447 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
76 ifexg 4533 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
7775, 21, 76sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
78 breq1 5106 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏 β†’ (𝑧 ≀ 𝑅 ↔ 𝑏 ≀ 𝑅))
79 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏 β†’ 𝑧 = 𝑏)
8078, 79ifbieq1d 4508 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
8180, 32fvmptg 6941 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘) = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
8274, 77, 81syl2anr 597 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘) = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
8373, 82breq12d 5116 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) ≀ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘) ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
8472, 83sylibrd 258 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) ≀ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘)))
8557, 63xaddcld 13148 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
86 xrmin1 13024 . . . . . . 7 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑏))
8785, 58, 86syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑏))
8885, 58ifcld 4530 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ ℝ*)
8957, 58xaddcld 13148 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
90 xrmin2 13025 . . . . . . . 8 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ 𝑅)
9185, 58, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ 𝑅)
92 xaddid2 13089 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9358, 92syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9445a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ∈ ℝ*)
95 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘Ž))
9695simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
9796ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
98 xleadd1a 13100 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≀ π‘Ž) β†’ (0 +𝑒 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅))
9994, 57, 58, 97, 98syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (0 +𝑒 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅))
10093, 99eqbrtrrd 5127 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑅 ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅))
10188, 58, 89, 91, 100xrletrd 13009 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅))
102 oveq2 7357 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) = (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
103102breq2d 5115 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ↔ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
104 oveq2 7357 . . . . . . . 8 (𝑅 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑅) = (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
105104breq2d 5115 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅) ↔ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
106103, 105ifboth 4523 . . . . . 6 ((if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∧ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅)) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
10787, 101, 106syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
10863, 58ifcld 4530 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*)
10958, 108xaddcld 13148 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∈ ℝ*)
11058xaddid1d 13090 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
111 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑏))
112111simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ 𝑏)
113112ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ 𝑏)
11448adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ 𝑅)
115 breq2 5107 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (0 ≀ 𝑏 ↔ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
116 breq2 5107 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (0 ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
117115, 116ifboth 4523 . . . . . . . . 9 ((0 ≀ 𝑏 ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
118113, 114, 117syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
119 xleadd2a 13101 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) β†’ (𝑅 +𝑒 0) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12094, 108, 58, 118, 119syl31anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (𝑅 +𝑒 0) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
121110, 120eqbrtrrd 5127 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12288, 58, 109, 91, 121xrletrd 13009 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
123 oveq1 7356 . . . . . . 7 (π‘Ž = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
124123breq2d 5115 . . . . . 6 (π‘Ž = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
125 oveq1 7356 . . . . . . 7 (𝑅 = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
126125breq2d 5115 . . . . . 6 (𝑅 = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
127124, 126ifboth 4523 . . . . 5 ((if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∧ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
128107, 122, 127syl2anc 584 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
129 ge0xaddcl 13307 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
130 ovex 7382 . . . . . 6 (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ V
131 ifexg 4533 . . . . . 6 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
132130, 21, 131sylancr 587 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
133 breq1 5106 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏) β†’ (𝑧 ≀ 𝑅 ↔ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅))
134 id 22 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏) β†’ 𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏))
135133, 134ifbieq1d 4508 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅))
136135, 32fvmptg 6941 . . . . 5 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞) ∧ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜(π‘Ž +𝑒 𝑏)) = if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅))
137129, 132, 136syl2anr 597 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜(π‘Ž +𝑒 𝑏)) = if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅))
13873, 82oveq12d 7367 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘)) = (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
139128, 137, 1383brtr4d 5135 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜(π‘Ž +𝑒 𝑏)) ≀ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘)))
1401, 24, 55, 84, 139comet 23791 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐢) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14119, 140eqeltrrd 2839 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443  ifcif 4484   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5628   ∘ ccom 5634   Fn wfn 6486  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123   +𝑒 cxad 12959  [,]cicc 13195  βˆžMetcxmet 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-er 8581  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-2 12149  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-icc 13199  df-xmet 20712
This theorem is referenced by:  stdbdmet  23794  stdbdbl  23795  stdbdmopn  23796
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