Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdxmet 23127
 Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1132 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetcl 22943 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 22956 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
4 elxrge0 12848 . . . . . . 7 ((𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 585 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1116 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 582 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 22941 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
983ad2ant1 1129 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
109ffnd 6517 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋))
11 fnov 7284 . . . . 5 (𝐶 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
1210, 11sylib 220 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥𝐶𝑦)))
13 eqidd 2824 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)))
14 breq1 5071 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → (𝑧𝑅 ↔ (𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅))
15 id 22 . . . . 5 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → 𝑧 = (𝑥𝐶𝑦))
1614, 15ifbieq1d 4492 . . . 4 (𝑧 = (𝑥𝐶𝑦) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
177, 12, 13, 16fmpoco 7792 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅)))
18 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
1917, 18syl6eqr 2876 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) = 𝐷)
20 eliccxr 12826 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
21 simp2 1133 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
22 ifcl 4513 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2320, 21, 22syl2anr 598 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2423fmpttd 6881 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)):(0[,]+∞)⟶ℝ*)
25 id 22 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
26 vex 3499 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
27 ifexg 4516 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
2826, 21, 27sylancr 589 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V)
29 breq1 5071 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑅𝑎𝑅))
30 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎𝑧 = 𝑎)
3129, 30ifbieq1d 4492 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
32 eqid 2823 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))
3331, 32fvmptg 6768 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3425, 28, 33syl2anr 598 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
3534eqeq1d 2825 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
36 eqeq1 2827 . . . . . 6 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
3736bibi1d 346 . . . . 5 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
38 eqeq1 2827 . . . . . 6 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0))
3938bibi1d 346 . . . . 5 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → ((𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0)))
40 biidd 264 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑎𝑅) → (𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
41 simp3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 < 𝑅)
4241gt0ne0d 11206 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 0)
4342neneqd 3023 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
4443ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → ¬ 𝑅 = 0)
45 0xr 10690 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
46 xrltle 12545 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
4745, 21, 46sylancr 589 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (0 < 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
4841, 47mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 0 ≤ 𝑅)
4948adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑅)
50 breq1 5071 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝑎𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
5149, 50syl5ibrcom 249 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 = 0 → 𝑎𝑅))
5251con3dimp 411 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → ¬ 𝑎 = 0)
5344, 522falsed 379 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) ∧ ¬ 𝑎𝑅) → (𝑅 = 0 ↔ 𝑎 = 0))
5437, 39, 40, 53ifbothda 4506 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
5535, 54bitrd 281 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = 0 ↔ 𝑎 = 0))
56 eliccxr 12826 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 𝑎 ∈ ℝ*)
5756ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
5821adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
59 xrmin1 12573 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
6057, 58, 59syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎)
6157, 58ifcld 4514 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*)
62 eliccxr 12826 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 𝑏 ∈ ℝ*)
6362ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
64 xrletr 12554 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
6561, 57, 63, 64syl3anc 1367 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑎𝑎𝑏) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
6660, 65mpand 693 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏))
67 xrmin2 12574 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
6857, 58, 67syl2anc 586 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)
6966, 68jctird 529 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
70 xrlemin 12580 . . . . . 6 ((if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
7161, 63, 58, 70syl3anc 1367 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑏 ∧ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ 𝑅)))
7269, 71sylibrd 261 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
7334adantrr 715 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅))
74 simpr 487 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
75 vex 3499 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
76 ifexg 4516 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
7775, 21, 76sylancr 589 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
78 breq1 5071 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧𝑅𝑏𝑅))
79 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏𝑧 = 𝑏)
8078, 79ifbieq1d 4492 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8180, 32fvmptg 6768 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8274, 77, 81syl2anr 598 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
8373, 82breq12d 5081 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏) ↔ if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
8472, 83sylibrd 261 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎𝑏 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) ≤ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
8557, 63xaddcld 12697 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
86 xrmin1 12573 . . . . . . 7 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
8785, 58, 86syl2anc 586 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏))
8885, 58ifcld 4514 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ ℝ*)
8957, 58xaddcld 12697 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑎 +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
90 xrmin2 12574 . . . . . . . 8 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
9185, 58, 90syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ 𝑅)
92 xaddid2 12638 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9358, 92syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9445a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ∈ ℝ*)
95 elxrge0 12848 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑎))
9695simprbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
9796ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑎)
98 xleadd1a 12649 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
9994, 57, 58, 97, 98syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (0 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10093, 99eqbrtrrd 5092 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
10188, 58, 89, 91, 100xrletrd 12558 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅))
102 oveq2 7166 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑏) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
103102breq2d 5080 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
104 oveq2 7166 . . . . . . . 8 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 𝑅) = (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
105104breq2d 5080 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
106103, 105ifboth 4507 . . . . . 6 ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑏) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 𝑅)) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
10787, 101, 106syl2anc 586 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
10863, 58ifcld 4514 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*)
10958, 108xaddcld 12697 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∈ ℝ*)
11058xaddid1d 12639 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
111 elxrge0 12848 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑏))
112111simprbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑏)
113112ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑏)
11448adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ 𝑅)
115 breq2 5072 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
116 breq2 5072 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
117115, 116ifboth 4507 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑏 ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
118113, 114, 117syl2anc 586 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))
119 xleadd2a 12650 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12094, 108, 58, 118, 119syl31anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑅 +𝑒 0) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
121110, 120eqbrtrrd 5092 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑅 ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12288, 58, 109, 91, 121xrletrd 12558 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
123 oveq1 7165 . . . . . . 7 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
124123breq2d 5080 . . . . . 6 (𝑎 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
125 oveq1 7165 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
126125breq2d 5080 . . . . . 6 (𝑅 = if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) → (if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))))
127124, 126ifboth 4507 . . . . 5 ((if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑎 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (𝑅 +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
128107, 122, 127syl2anc 586 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ≤ (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
129 ge0xaddcl 12853 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
130 ovex 7191 . . . . . 6 (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V
131 ifexg 4516 . . . . . 6 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
132130, 21, 131sylancr 589 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
133 breq1 5071 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → (𝑧𝑅 ↔ (𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅))
134 id 22 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → 𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏))
135133, 134ifbieq1d 4492 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑎 +𝑒 𝑏) → if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
136135, 32fvmptg 6768 . . . . 5 (((𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞) ∧ if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
137129, 132, 136syl2anr 598 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) = if((𝑎 +𝑒 𝑏) ≤ 𝑅, (𝑎 +𝑒 𝑏), 𝑅))
13873, 82oveq12d 7176 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)) = (if(𝑎𝑅, 𝑎, 𝑅) +𝑒 if(𝑏𝑅, 𝑏, 𝑅)))
139128, 137, 1383brtr4d 5100 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘(𝑎 +𝑒 𝑏)) ≤ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑎) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅))‘𝑏)))
1401, 24, 55, 84, 139comet 23125 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐶) ∈ (∞Met‘𝑋))
14119, 140eqeltrrd 2916 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ifcif 4469   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555   ∘ ccom 5561   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  0cc0 10539  +∞cpnf 10674  ℝ*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678   +𝑒 cxad 12508  [,]cicc 12744  ∞Metcxmet 20532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-2 11703  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-xmet 20540 This theorem is referenced by:  stdbdmet  23128  stdbdbl  23129  stdbdmopn  23130
 Copyright terms: Public domain W3C validator