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Theorem stdbdxmet 23793
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmetcl 23606 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
3 xmetge0 23619 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
4 elxrge0 13303 . . . . . . 7 ((π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
52, 3, 4sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
653expb 1121 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sylan 581 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8 xmetf 23604 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
983ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
109ffnd 6665 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
11 fnov 7480 . . . . 5 (𝐢 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ 𝐢 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐢𝑦)))
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯𝐢𝑦)))
13 eqidd 2739 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)))
14 breq1 5107 . . . . 5 (𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦) β†’ (𝑧 ≀ 𝑅 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅))
15 id 22 . . . . 5 (𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦) β†’ 𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦))
1614, 15ifbieq1d 4509 . . . 4 (𝑧 = (π‘₯𝐢𝑦) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
177, 12, 13, 16fmpoco 8016 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅)))
18 stdbdmet.1 . . 3 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
1917, 18eqtr4di 2796 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐢) = 𝐷)
20 eliccxr 13281 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
21 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
22 ifcl 4530 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2320, 21, 22syl2anr 598 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) ∈ ℝ*)
2423fmpttd 7058 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)):(0[,]+∞)βŸΆβ„*)
25 id 22 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘Ž ∈ (0[,]+∞))
26 vex 3448 . . . . . . 7 π‘Ž ∈ V
27 ifexg 4534 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ V)
2826, 21, 27sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ V)
29 breq1 5107 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘Ž β†’ (𝑧 ≀ 𝑅 ↔ π‘Ž ≀ 𝑅))
30 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘Ž β†’ 𝑧 = π‘Ž)
3129, 30ifbieq1d 4509 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘Ž β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅))
32 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))
3331, 32fvmptg 6942 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅))
3425, 28, 33syl2anr 598 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅))
3534eqeq1d 2740 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = 0 ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0))
36 eqeq1 2742 . . . . . 6 (π‘Ž = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (π‘Ž = 0 ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0))
3736bibi1d 344 . . . . 5 (π‘Ž = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ ((π‘Ž = 0 ↔ π‘Ž = 0) ↔ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0 ↔ π‘Ž = 0)))
38 eqeq1 2742 . . . . . 6 (𝑅 = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (𝑅 = 0 ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0))
3938bibi1d 344 . . . . 5 (𝑅 = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ ((𝑅 = 0 ↔ π‘Ž = 0) ↔ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0 ↔ π‘Ž = 0)))
40 biidd 262 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) ∧ π‘Ž ≀ 𝑅) β†’ (π‘Ž = 0 ↔ π‘Ž = 0))
41 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅)
4241gt0ne0d 11653 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝑅 β‰  0)
4342neneqd 2947 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ Β¬ 𝑅 = 0)
4443ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑅) β†’ Β¬ 𝑅 = 0)
45 0xr 11136 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
46 xrltle 12997 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
4745, 21, 46sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (0 < 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
4841, 47mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 0 ≀ 𝑅)
4948adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
50 breq1 5107 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ 𝑅))
5149, 50syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž ≀ 𝑅))
5251con3dimp 410 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑅) β†’ Β¬ π‘Ž = 0)
5344, 522falsed 377 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) ∧ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑅) β†’ (𝑅 = 0 ↔ π‘Ž = 0))
5437, 39, 40, 53ifbothda 4523 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) = 0 ↔ π‘Ž = 0))
5535, 54bitrd 279 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = 0 ↔ π‘Ž = 0))
56 eliccxr 13281 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
5756ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
5821adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
59 xrmin1 13025 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ π‘Ž)
6057, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ π‘Ž)
6157, 58ifcld 4531 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ ℝ*)
62 eliccxr 13281 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
6362ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
64 xrletr 13006 . . . . . . . 8 ((if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ π‘Ž ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏))
6561, 57, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ π‘Ž ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏))
6660, 65mpand 694 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏))
67 xrmin2 13026 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)
6857, 58, 67syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)
6966, 68jctird 528 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏 ∧ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)))
70 xrlemin 13032 . . . . . 6 ((if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏 ∧ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)))
7161, 63, 58, 70syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ↔ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑏 ∧ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ 𝑅)))
7269, 71sylibrd 259 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
7334adantrr 716 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅))
74 simpr 486 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))
75 vex 3448 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
76 ifexg 4534 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
7775, 21, 76sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V)
78 breq1 5107 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏 β†’ (𝑧 ≀ 𝑅 ↔ 𝑏 ≀ 𝑅))
79 id 22 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑏 β†’ 𝑧 = 𝑏)
8078, 79ifbieq1d 4509 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
8180, 32fvmptg 6942 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (0[,]+∞) ∧ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘) = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
8274, 77, 81syl2anr 598 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘) = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
8373, 82breq12d 5117 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) ≀ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘) ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
8472, 83sylibrd 259 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) ≀ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘)))
8557, 63xaddcld 13149 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ ℝ*)
86 xrmin1 13025 . . . . . . 7 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑏))
8785, 58, 86syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑏))
8885, 58ifcld 4531 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ ℝ*)
8957, 58xaddcld 13149 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑅) ∈ ℝ*)
90 xrmin2 13026 . . . . . . . 8 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ 𝑅)
9185, 58, 90syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ 𝑅)
92 xaddid2 13090 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9358, 92syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (0 +𝑒 𝑅) = 𝑅)
9445a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ∈ ℝ*)
95 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘Ž))
9695simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
9796ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
98 xleadd1a 13101 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≀ π‘Ž) β†’ (0 +𝑒 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅))
9994, 57, 58, 97, 98syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (0 +𝑒 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅))
10093, 99eqbrtrrd 5128 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑅 ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅))
10188, 58, 89, 91, 100xrletrd 13010 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅))
102 oveq2 7358 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) = (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
103102breq2d 5116 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ↔ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
104 oveq2 7358 . . . . . . . 8 (𝑅 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑅) = (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
105104breq2d 5116 . . . . . . 7 (𝑅 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅) ↔ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
106103, 105ifboth 4524 . . . . . 6 ((if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∧ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 𝑅)) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
10787, 101, 106syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
10863, 58ifcld 4531 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ*)
10958, 108xaddcld 13149 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∈ ℝ*)
11058xaddid1d 13091 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (𝑅 +𝑒 0) = 𝑅)
111 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑏 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑏))
112111simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ 𝑏)
113112ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ 𝑏)
11448adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ 𝑅)
115 breq2 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (0 ≀ 𝑏 ↔ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
116 breq2 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) β†’ (0 ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
117115, 116ifboth 4524 . . . . . . . . 9 ((0 ≀ 𝑏 ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
118113, 114, 117syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))
119 xleadd2a 13102 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≀ if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) β†’ (𝑅 +𝑒 0) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12094, 108, 58, 118, 119syl31anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (𝑅 +𝑒 0) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
121110, 120eqbrtrrd 5128 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
12288, 58, 109, 91, 121xrletrd 13010 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
123 oveq1 7357 . . . . . . 7 (π‘Ž = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
124123breq2d 5116 . . . . . 6 (π‘Ž = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
125 oveq1 7357 . . . . . . 7 (𝑅 = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) = (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
126125breq2d 5116 . . . . . 6 (𝑅 = if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) β†’ (if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ↔ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))))
127124, 126ifboth 4524 . . . . 5 ((if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (π‘Ž +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)) ∧ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (𝑅 +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
128107, 122, 127syl2anc 585 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ≀ (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
129 ge0xaddcl 13308 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
130 ovex 7383 . . . . . 6 (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ V
131 ifexg 4534 . . . . . 6 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
132130, 21, 131sylancr 588 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V)
133 breq1 5107 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏) β†’ (𝑧 ≀ 𝑅 ↔ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅))
134 id 22 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏) β†’ 𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏))
135133, 134ifbieq1d 4509 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘Ž +𝑒 𝑏) β†’ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅) = if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅))
136135, 32fvmptg 6942 . . . . 5 (((π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞) ∧ if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜(π‘Ž +𝑒 𝑏)) = if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅))
137129, 132, 136syl2anr 598 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜(π‘Ž +𝑒 𝑏)) = if((π‘Ž +𝑒 𝑏) ≀ 𝑅, (π‘Ž +𝑒 𝑏), 𝑅))
13873, 82oveq12d 7368 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘)) = (if(π‘Ž ≀ 𝑅, π‘Ž, 𝑅) +𝑒 if(𝑏 ≀ 𝑅, 𝑏, 𝑅)))
139128, 137, 1383brtr4d 5136 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞))) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜(π‘Ž +𝑒 𝑏)) ≀ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘Ž) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅))β€˜π‘)))
1401, 24, 55, 84, 139comet 23791 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 ≀ 𝑅, 𝑧, 𝑅)) ∘ 𝐢) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14119, 140eqeltrrd 2840 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  ifcif 4485   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187   Γ— cxp 5629   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∈ cmpo 7352  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124   +𝑒 cxad 12960  [,]cicc 13196  βˆžMetcxmet 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-xmet 20712
This theorem is referenced by:  stdbdmet  23794  stdbdbl  23795  stdbdmopn  23796
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