MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdbl 24026
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐢 generates the same balls as 𝐢 for radii less than 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdbl (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑃,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem stdbdbl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1214 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
2 simpr1 1195 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
32adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
4 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
5 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
65stdbdmetval 24023 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑧) = if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅))
71, 3, 4, 6syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑧) = if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅))
87breq1d 5159 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅) < 𝑆))
9 simplr3 1218 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ≀ 𝑅)
109biantrud 533 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃𝐢𝑧) ↔ (𝑆 ≀ (𝑃𝐢𝑧) ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)))
11 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
13 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1413adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
15 xmetcl 23837 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑧) ∈ ℝ*)
1614, 3, 4, 15syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑧) ∈ ℝ*)
17 xrlemin 13163 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐢𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 ≀ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅) ↔ (𝑆 ≀ (𝑃𝐢𝑧) ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)))
1812, 16, 1, 17syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ≀ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅) ↔ (𝑆 ≀ (𝑃𝐢𝑧) ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)))
1910, 18bitr4d 282 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃𝐢𝑧) ↔ 𝑆 ≀ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅)))
2019notbid 318 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃𝐢𝑧) ↔ Β¬ 𝑆 ≀ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅)))
21 xrltnle 11281 . . . . . 6 (((𝑃𝐢𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃𝐢𝑧)))
2216, 12, 21syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃𝐢𝑧)))
2316, 1ifcld 4575 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅) ∈ ℝ*)
24 xrltnle 11281 . . . . . 6 ((if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅) < 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 ≀ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅)))
2523, 12, 24syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅) < 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 ≀ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅)))
2620, 22, 253bitr4d 311 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ↔ if((𝑃𝐢𝑧) ≀ 𝑅, (𝑃𝐢𝑧), 𝑅) < 𝑆))
278, 26bitr4d 282 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆))
2827rabbidva 3440 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆})
295stdbdxmet 24024 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3029adantr 482 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31 blval 23892 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
3230, 2, 11, 31syl3anc 1372 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
33 blval 23892 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆})
3413, 2, 11, 33syl3anc 1372 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆})
3528, 32, 343eqtr4d 2783 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  stdbdmopn  24027  xlebnum  24481
  Copyright terms: Public domain W3C validator