MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdbl 24531
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same balls as 𝐶 for radii less than 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
Assertion
Ref Expression
stdbdbl (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = (𝑃(ball‘𝐶)𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdbl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1213 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
2 simpr1 1194 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → 𝑃𝑋)
32adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑃𝑋)
4 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
5 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
65stdbdmetval 24528 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑃𝑋𝑧𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) = if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅))
71, 3, 4, 6syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) = if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅))
87breq1d 5152 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅) < 𝑆))
9 simplr3 1217 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑆𝑅)
109biantrud 531 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑆 ≤ (𝑃𝐶𝑧) ↔ (𝑆 ≤ (𝑃𝐶𝑧) ∧ 𝑆𝑅)))
11 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
13 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
15 xmetcl 24342 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧𝑋) → (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ*)
1614, 3, 4, 15syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ*)
17 xrlemin 13227 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ≤ if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅) ↔ (𝑆 ≤ (𝑃𝐶𝑧) ∧ 𝑆𝑅)))
1812, 16, 1, 17syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑆 ≤ if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅) ↔ (𝑆 ≤ (𝑃𝐶𝑧) ∧ 𝑆𝑅)))
1910, 18bitr4d 282 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑆 ≤ (𝑃𝐶𝑧) ↔ 𝑆 ≤ if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅)))
2019notbid 318 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → (¬ 𝑆 ≤ (𝑃𝐶𝑧) ↔ ¬ 𝑆 ≤ if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅)))
21 xrltnle 11329 . . . . . 6 (((𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃𝐶𝑧)))
2216, 12, 21syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃𝐶𝑧)))
2316, 1ifcld 4571 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅) ∈ ℝ*)
24 xrltnle 11329 . . . . . 6 ((if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅) ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) → (if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅)))
2523, 12, 24syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → (if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅)))
2620, 22, 253bitr4d 311 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ if((𝑃𝐶𝑧) ≤ 𝑅, (𝑃𝐶𝑧), 𝑅) < 𝑆))
278, 26bitr4d 282 . . 3 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆))
2827rabbidva 3442 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆} = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
295stdbdxmet 24529 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3029adantr 480 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
31 blval 24397 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
3230, 2, 11, 31syl3anc 1372 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
33 blval 24397 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
3413, 2, 11, 33syl3anc 1372 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
3528, 32, 343eqtr4d 2786 1 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*𝑆𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = (𝑃(ball‘𝐶)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  0cc0 11156  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  ∞Metcxmet 21350  ballcbl 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-2 12330  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-bl 21360
This theorem is referenced by:  stdbdmopn  24532  xlebnum  24998
  Copyright terms: Public domain W3C validator