MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletri 13172
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrletri ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem xrletri
StepHypRef Expression
1 xrltnle 11319 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
21ancoms 457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3 xrltle 13168 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
43ancoms 457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
52, 4sylbird 259 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
65orrd 861 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  wcel 2098   class class class wbr 5152  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292
This theorem is referenced by:  xrmax2  13195  xrmin1  13196  pcgcd  16854  letsr  18592  xrsdsreclb  21353  xrsxmet  24745  xrhmeo  24891  itg2const2  25691  xrge0infss  32551  xrstos  32758  xrge0omnd  32812
  Copyright terms: Public domain W3C validator