Theorem brltc 6115

Description: Binary relationship form of cardinal less than. (Contributed by SF, 4-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brltc	⊢ (A <c B ↔ (A ≤c B ∧ A ≠ B))

Proof of Theorem brltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brex 4690	. . 3 ⊢ (A <c B → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
2	1	simprd 449	. 2 ⊢ (A <c B → B ∈ V)
3		brex 4690	. . . 4 ⊢ (A ≤c B → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
4	3	simprd 449	. . 3 ⊢ (A ≤c B → B ∈ V)
5	4	adantr 451	. 2 ⊢ ((A ≤c B ∧ A ≠ B) → B ∈ V)
6		df-ltc 6101	. . . . 5 ⊢ <c = ( ≤c ∖ I )
7	6	breqi 4646	. . . 4 ⊢ (A <c B ↔ A( ≤c ∖ I )B)
8		brdif 4695	. . . 4 ⊢ (A( ≤c ∖ I )B ↔ (A ≤c B ∧ ¬ A I B))
9	7, 8	bitri 240	. . 3 ⊢ (A <c B ↔ (A ≤c B ∧ ¬ A I B))
10		ideqg 4869	. . . . 5 ⊢ (B ∈ V → (A I B ↔ A = B))
11	10	necon3bbid 2551	. . . 4 ⊢ (B ∈ V → (¬ A I B ↔ A ≠ B))
12	11	anbi2d 684	. . 3 ⊢ (B ∈ V → ((A ≤c B ∧ ¬ A I B) ↔ (A ≤c B ∧ A ≠ B)))
13	9, 12	syl5bb 248	. 2 ⊢ (B ∈ V → (A <c B ↔ (A ≤c B ∧ A ≠ B)))
14	2, 5, 13	pm5.21nii 342	1 ⊢ (A <c B ↔ (A ≤c B ∧ A ≠ B))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  Vcvv 2860   ∖ cdif 3207   class class class wbr 4640   I cid 4764   ≤_c clec 6090   <_c cltc 6091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-id 4768  df-ltc 6101

This theorem is referenced by:  ltcpw1pwg  6203  ltlenlec  6208  leltctr  6213  0lt1c  6259  nnltp1c  6263  ltcirr  6273  nchoicelem4  6293  nchoicelem8  6297  nchoicelem9  6298  nchoicelem15  6304  nchoicelem17  6306