Theorem releqel 5808

Description: Lemma to turn a membership condition into an equality condition. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
releqel.1	⊢ T ∈ V
releqel.2	⊢ (⟨{y}, T⟩ ∈ R ↔ y ∈ A)

Assertion

Ref	Expression
releqel	⊢ (⟨x, T⟩ ∈ ∼ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ x = A)

Distinct variable groups:   y,A   y,R   y,T   x,y

Allowed substitution hints:   A(x)   R(x)   T(x)

Proof of Theorem releqel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima1c 4948	. . . 4 ⊢ (⟨x, T⟩ ∈ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ ∃y⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ ( Ins3 S ⊕ Ins2 R))
2		elsymdif 3224	. . . . . 6 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ ( Ins3 S ⊕ Ins2 R) ↔ ¬ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ ⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins2 R))
3		releqel.1	. . . . . . . . 9 ⊢ T ∈ V
4	3	otelins3 5793	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ ⟨{y}, x⟩ ∈ S )
5		vex 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
6		vex 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
7	5, 6	opelssetsn 4761	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, x⟩ ∈ S ↔ y ∈ x)
8	4, 7	bitri 240	. . . . . . 7 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ y ∈ x)
9	6	otelins2 5792	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins2 R ↔ ⟨{y}, T⟩ ∈ R)
10		releqel.2	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, T⟩ ∈ R ↔ y ∈ A)
11	9, 10	bitri 240	. . . . . . 7 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins2 R ↔ y ∈ A)
12	8, 11	bibi12i 306	. . . . . 6 ⊢ ((⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ ⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins2 R) ↔ (y ∈ x ↔ y ∈ A))
13	2, 12	xchbinx 301	. . . . 5 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ ( Ins3 S ⊕ Ins2 R) ↔ ¬ (y ∈ x ↔ y ∈ A))
14	13	exbii 1582	. . . 4 ⊢ (∃y⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ ( Ins3 S ⊕ Ins2 R) ↔ ∃y ¬ (y ∈ x ↔ y ∈ A))
15		exnal 1574	. . . 4 ⊢ (∃y ¬ (y ∈ x ↔ y ∈ A) ↔ ¬ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ A))
16	1, 14, 15	3bitrri 263	. . 3 ⊢ (¬ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ A) ↔ ⟨x, T⟩ ∈ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c))
17	16	con1bii 321	. 2 ⊢ (¬ ⟨x, T⟩ ∈ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ A))
18	6, 3	opex 4589	. . 3 ⊢ ⟨x, T⟩ ∈ V
19	18	elcompl 3226	. 2 ⊢ (⟨x, T⟩ ∈ ∼ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ ¬ ⟨x, T⟩ ∈ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c))
20		dfcleq 2347	. 2 ⊢ (x = A ↔ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ A))
21	17, 19, 20	3bitr4i 268	1 ⊢ (⟨x, T⟩ ∈ ∼ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ x = A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 176  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   ⊕ csymdif 3210  {csn 3738  1_cc1c 4135  ⟨cop 4562   S csset 4720   “ cima 4723   Ins2 cins2 5750   Ins3 cins3 5752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-cnv 4786  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753

This theorem is referenced by:  releqmpt  5809  ceex  6175  nmembers1lem1  6269  nchoicelem10  6299