Theorem 2lgslem1a2 16072

Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 16073. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a2	|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I <-> ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) ) )

Proof of Theorem 2lgslem1a2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9598	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2	1	rehalfcld 9502	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. RR )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. RR )
4		id 19	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> I e. ZZ )
5		2z 9622	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> 2 e. ZZ )
7	4, 6	zmulcld 9724	. . . . 5 |- ( I e. ZZ -> ( I x. 2 ) e. ZZ )
8	7	zred 9718	. . . 4 |- ( I e. ZZ -> ( I x. 2 ) e. RR )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I x. 2 ) e. RR )
10		2re 9324	. . . . 5 |- 2 e. RR
11		2pos 9345	. . . . 5 |- 0 < 2
12	10, 11	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
14		ltdiv1 9159	. . 3 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ ( I x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) ) )
15	3, 9, 13, 14	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) ) )
16		zcn 9599	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N e. CC )
18		2cnd 9327	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 2 e. CC )
19		2ap0 9347	. . . . . 6 |- 2 # 0
20	19	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 2 # 0 )
21	17, 18, 18, 20, 20	divdivap1d 9113	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
22		2t2e4 9409	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
23	22	oveq2i 6069	. . . 4 |- ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 )
24	21, 23	eqtrdi 2283	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
25		zcn 9599	. . . . 5 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. CC )
27	26, 18, 20	divcanap4d 9087	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( I x. 2 ) / 2 ) = I )
28	24, 27	breq12d 4127	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) <-> ( N / 4 ) < I ) )
29		4nn 9418	. . . 4 |- 4 e. NN
30		znq 9974	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
31	29, 30	mpan2 425	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
32		flqlt 10667	. . 3 |- ( ( ( N / 4 ) e. QQ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 4 ) < I <-> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I ) )
33	31, 32	sylan 283	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 4 ) < I <-> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I ) )
34	15, 28, 33	3bitrrd 215	1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I <-> ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   x. cmul 8148   < clt 8324   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   4c4 9307   ZZcz 9594   QQcq 9969   |_cfl 10652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  16073