Theorem 2lgslem1a2 15952

Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 15953. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a2	|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I <-> ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) ) )

Proof of Theorem 2lgslem1a2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9580	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2	1	rehalfcld 9484	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. RR )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. RR )
4		id 19	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> I e. ZZ )
5		2z 9604	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> 2 e. ZZ )
7	4, 6	zmulcld 9705	. . . . 5 |- ( I e. ZZ -> ( I x. 2 ) e. ZZ )
8	7	zred 9699	. . . 4 |- ( I e. ZZ -> ( I x. 2 ) e. RR )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I x. 2 ) e. RR )
10		2re 9306	. . . . 5 |- 2 e. RR
11		2pos 9327	. . . . 5 |- 0 < 2
12	10, 11	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
14		ltdiv1 9141	. . 3 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ ( I x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) ) )
15	3, 9, 13, 14	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) ) )
16		zcn 9581	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N e. CC )
18		2cnd 9309	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 2 e. CC )
19		2ap0 9329	. . . . . 6 |- 2 # 0
20	19	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 2 # 0 )
21	17, 18, 18, 20, 20	divdivap1d 9095	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
22		2t2e4 9391	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
23	22	oveq2i 6060	. . . 4 |- ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 )
24	21, 23	eqtrdi 2281	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
25		zcn 9581	. . . . 5 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. CC )
27	26, 18, 20	divcanap4d 9069	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( I x. 2 ) / 2 ) = I )
28	24, 27	breq12d 4121	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) <-> ( N / 4 ) < I ) )
29		4nn 9400	. . . 4 |- 4 e. NN
30		znq 9955	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
31	29, 30	mpan2 425	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
32		flqlt 10642	. . 3 |- ( ( ( N / 4 ) e. QQ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 4 ) < I <-> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I ) )
33	31, 32	sylan 283	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 4 ) < I <-> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I ) )
34	15, 28, 33	3bitrrd 215	1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I <-> ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   RRcr 8125   0cc0 8126   x. cmul 8131   < clt 8307   # cap 8854   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   4c4 9289   ZZcz 9576   QQcq 9950   |_cfl 10627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-q 9951  df-rp 9986  df-fl 10629

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15953