Theorem 2lgslem1a2 15235

Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 15236. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a2	|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I <-> ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) ) )

Proof of Theorem 2lgslem1a2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9324	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2	1	rehalfcld 9232	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. RR )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. RR )
4		id 19	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> I e. ZZ )
5		2z 9348	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
6	5	a1i 9	. . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> 2 e. ZZ )
7	4, 6	zmulcld 9448	. . . . 5 |- ( I e. ZZ -> ( I x. 2 ) e. ZZ )
8	7	zred 9442	. . . 4 |- ( I e. ZZ -> ( I x. 2 ) e. RR )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I x. 2 ) e. RR )
10		2re 9054	. . . . 5 |- 2 e. RR
11		2pos 9075	. . . . 5 |- 0 < 2
12	10, 11	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
13	12	a1i 9	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
14		ltdiv1 8889	. . 3 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ ( I x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) ) )
15	3, 9, 13, 14	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) ) )
16		zcn 9325	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N e. CC )
18		2cnd 9057	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 2 e. CC )
19		2ap0 9077	. . . . . 6 |- 2 # 0
20	19	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 2 # 0 )
21	17, 18, 18, 20, 20	divdivap1d 8843	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
22		2t2e4 9139	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
23	22	oveq2i 5930	. . . 4 |- ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 )
24	21, 23	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
25		zcn 9325	. . . . 5 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. CC )
27	26, 18, 20	divcanap4d 8817	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( I x. 2 ) / 2 ) = I )
28	24, 27	breq12d 4043	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) <-> ( N / 4 ) < I ) )
29		4nn 9148	. . . 4 |- 4 e. NN
30		znq 9692	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
31	29, 30	mpan2 425	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
32		flqlt 10355	. . 3 |- ( ( ( N / 4 ) e. QQ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 4 ) < I <-> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I ) )
33	31, 32	sylan 283	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 4 ) < I <-> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I ) )
34	15, 28, 33	3bitrrd 215	1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I <-> ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   x. cmul 7879   < clt 8056   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   4c4 9037   ZZcz 9320   QQcq 9687   |_cfl 10340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15236