Theorem 2lgslem1a1 15234

Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 15236. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a1	|- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Distinct variable group:   P, i

Proof of Theorem 2lgslem1a1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10094	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> i e. ZZ )
3		2z 9348	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9448	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
6		zq 9694	. . . . 5 |- ( ( i x. 2 ) e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. QQ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. QQ )
8		nnq 9701	. . . . 5 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
9	8	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
10		elfznn 10123	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. NN )
11		nnre 8991	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> i e. RR )
12		nnnn0 9250	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. NN0 )
13	12	nn0ge0d 9299	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> 0 <_ i )
14		2re 9054	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
15		0le2 9074	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 2
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) )
18		mulge0 8640	. . . . . . 7 |- ( ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
19	11, 13, 17, 18	syl21anc 1248	. . . . . 6 |- ( i e. NN -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
21	20	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
22		elfz2 10084	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
23		zre 9324	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
24	23	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> i e. RR )
25		zre 9324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
26	25	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
27		2pos 9075	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
28	14, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		lemul1 8614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
31	24, 26, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
32		nncn 8992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> P e. CC )
33		peano2cnm 8287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. CC -> ( P - 1 ) e. CC )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. CC )
35		2cnd 9057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
36		2ap0 9077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 # 0
37	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
38	34, 35, 37	divcanap1d 8812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
41	40	breq2d 4042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
42		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> i e. ZZ )
43	3	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> 2 e. ZZ )
44	42, 43	zmulcld 9448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
45	44	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
46		nnz 9339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> P e. ZZ )
48		zltlem1 9377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i x. 2 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
49	45, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
50	49	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
51	41, 50	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
52	51	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
54	31, 53	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
55	54	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 1 <_ i -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) ) )
56	55	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
57	22, 56	sylbi 121	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
58	57	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) < P )
59		modqid 10423	. . . 4 |- ( ( ( ( i x. 2 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( i x. 2 ) /\ ( i x. 2 ) < P ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
60	7, 9, 21, 58, 59	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
61	60	eqcomd 2199	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )
62	61	ralrimiva 2567	1 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   ZZcz 9320   QQcq 9687   ...cfz 10077   mod cmo 10396   || cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fl 10342  df-mod 10397

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15236