Theorem 2lgslem1a1 15773

Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 15775. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a1	|- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Distinct variable group:   P, i

Proof of Theorem 2lgslem1a1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10229	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> i e. ZZ )
3		2z 9482	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9583	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
6		zq 9829	. . . . 5 |- ( ( i x. 2 ) e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. QQ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. QQ )
8		nnq 9836	. . . . 5 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
9	8	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
10		elfznn 10258	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. NN )
11		nnre 9125	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> i e. RR )
12		nnnn0 9384	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. NN0 )
13	12	nn0ge0d 9433	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> 0 <_ i )
14		2re 9188	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
15		0le2 9208	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 2
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) )
18		mulge0 8774	. . . . . . 7 |- ( ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
19	11, 13, 17, 18	syl21anc 1270	. . . . . 6 |- ( i e. NN -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
21	20	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
22		elfz2 10219	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
23		zre 9458	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
24	23	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> i e. RR )
25		zre 9458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
26	25	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
27		2pos 9209	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
28	14, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		lemul1 8748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
31	24, 26, 29, 30	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
32		nncn 9126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> P e. CC )
33		peano2cnm 8420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. CC -> ( P - 1 ) e. CC )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. CC )
35		2cnd 9191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
36		2ap0 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 # 0
37	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
38	34, 35, 37	divcanap1d 8946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
41	40	breq2d 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
42		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> i e. ZZ )
43	3	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> 2 e. ZZ )
44	42, 43	zmulcld 9583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
45	44	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
46		nnz 9473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> P e. ZZ )
48		zltlem1 9512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i x. 2 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
49	45, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
50	49	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
51	41, 50	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
52	51	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
54	31, 53	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
55	54	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 1 <_ i -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) ) )
56	55	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
57	22, 56	sylbi 121	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
58	57	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) < P )
59		modqid 10579	. . . 4 |- ( ( ( ( i x. 2 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( i x. 2 ) /\ ( i x. 2 ) < P ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
60	7, 9, 21, 58, 59	syl22anc 1272	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
61	60	eqcomd 2235	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )
62	61	ralrimiva 2603	1 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8005   RRcr 8006   0cc0 8007   1c1 8008   x. cmul 8012   < clt 8189   <_ cle 8190   - cmin 8325   # cap 8736   / cdiv 8827   NNcn 9118   2c2 9169   ZZcz 9454   QQcq 9822   ...cfz 10212   mod cmo 10552   || cdvds 12306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fl 10498  df-mod 10553

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15775