Theorem 2lgslem1a1 15730

Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 15732. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a1	|- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Distinct variable group:   P, i

Proof of Theorem 2lgslem1a1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10189	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> i e. ZZ )
3		2z 9442	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9543	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
6		zq 9789	. . . . 5 |- ( ( i x. 2 ) e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. QQ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. QQ )
8		nnq 9796	. . . . 5 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
9	8	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
10		elfznn 10218	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. NN )
11		nnre 9085	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> i e. RR )
12		nnnn0 9344	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. NN0 )
13	12	nn0ge0d 9393	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> 0 <_ i )
14		2re 9148	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
15		0le2 9168	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 2
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) )
18		mulge0 8734	. . . . . . 7 |- ( ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
19	11, 13, 17, 18	syl21anc 1251	. . . . . 6 |- ( i e. NN -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
21	20	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
22		elfz2 10179	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
23		zre 9418	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
24	23	3ad2ant3 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> i e. RR )
25		zre 9418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
26	25	3ad2ant2 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
27		2pos 9169	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
28	14, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		lemul1 8708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
31	24, 26, 29, 30	syl3anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
32		nncn 9086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> P e. CC )
33		peano2cnm 8380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. CC -> ( P - 1 ) e. CC )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. CC )
35		2cnd 9151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
36		2ap0 9171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 # 0
37	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
38	34, 35, 37	divcanap1d 8906	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
41	40	breq2d 4074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
42		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> i e. ZZ )
43	3	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> 2 e. ZZ )
44	42, 43	zmulcld 9543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
45	44	3ad2ant3 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
46		nnz 9433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> P e. ZZ )
48		zltlem1 9472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i x. 2 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
49	45, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
50	49	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
51	41, 50	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
52	51	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
54	31, 53	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
55	54	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 1 <_ i -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) ) )
56	55	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
57	22, 56	sylbi 121	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
58	57	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) < P )
59		modqid 10538	. . . 4 |- ( ( ( ( i x. 2 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( i x. 2 ) /\ ( i x. 2 ) < P ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
60	7, 9, 21, 58, 59	syl22anc 1253	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
61	60	eqcomd 2215	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )
62	61	ralrimiva 2583	1 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 983   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974   CCcc 7965   RRcr 7966   0cc0 7967   1c1 7968   x. cmul 7972   < clt 8149   <_ cle 8150   - cmin 8285   # cap 8696   / cdiv 8787   NNcn 9078   2c2 9129   ZZcz 9414   QQcq 9782   ...cfz 10172   mod cmo 10511   || cdvds 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15732