Theorem 2lgslem1a1 15327

Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 15329. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a1	|- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Distinct variable group:   P, i

Proof of Theorem 2lgslem1a1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10100	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> i e. ZZ )
3		2z 9354	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9454	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
6		zq 9700	. . . . 5 |- ( ( i x. 2 ) e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. QQ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. QQ )
8		nnq 9707	. . . . 5 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
9	8	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
10		elfznn 10129	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. NN )
11		nnre 8997	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> i e. RR )
12		nnnn0 9256	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. NN0 )
13	12	nn0ge0d 9305	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> 0 <_ i )
14		2re 9060	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
15		0le2 9080	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 2
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) )
18		mulge0 8646	. . . . . . 7 |- ( ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
19	11, 13, 17, 18	syl21anc 1248	. . . . . 6 |- ( i e. NN -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
21	20	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
22		elfz2 10090	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
23		zre 9330	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
24	23	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> i e. RR )
25		zre 9330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
26	25	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
27		2pos 9081	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
28	14, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		lemul1 8620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
31	24, 26, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
32		nncn 8998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> P e. CC )
33		peano2cnm 8292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. CC -> ( P - 1 ) e. CC )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. CC )
35		2cnd 9063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
36		2ap0 9083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 # 0
37	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
38	34, 35, 37	divcanap1d 8818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
41	40	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
42		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> i e. ZZ )
43	3	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> 2 e. ZZ )
44	42, 43	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
45	44	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
46		nnz 9345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> P e. ZZ )
48		zltlem1 9383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i x. 2 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
49	45, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
50	49	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
51	41, 50	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
52	51	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
54	31, 53	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
55	54	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 1 <_ i -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) ) )
56	55	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
57	22, 56	sylbi 121	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
58	57	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) < P )
59		modqid 10441	. . . 4 |- ( ( ( ( i x. 2 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( i x. 2 ) /\ ( i x. 2 ) < P ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
60	7, 9, 21, 58, 59	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
61	60	eqcomd 2202	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )
62	61	ralrimiva 2570	1 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   ZZcz 9326   QQcq 9693   ...cfz 10083   mod cmo 10414   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fl 10360  df-mod 10415

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15329