Theorem 2lgslem1a1 15337

Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 15339. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a1	|- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Distinct variable group:   P, i

Proof of Theorem 2lgslem1a1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10102	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> i e. ZZ )
3		2z 9356	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9456	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
6		zq 9702	. . . . 5 |- ( ( i x. 2 ) e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. QQ )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) e. QQ )
8		nnq 9709	. . . . 5 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
9	8	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
10		elfznn 10131	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> i e. NN )
11		nnre 8999	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> i e. RR )
12		nnnn0 9258	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. NN0 )
13	12	nn0ge0d 9307	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> 0 <_ i )
14		2re 9062	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
15		0le2 9082	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 2
16	14, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( i e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) )
18		mulge0 8648	. . . . . . 7 |- ( ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
19	11, 13, 17, 18	syl21anc 1248	. . . . . 6 |- ( i e. NN -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
21	20	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 <_ ( i x. 2 ) )
22		elfz2 10092	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
23		zre 9332	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
24	23	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> i e. RR )
25		zre 9332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
26	25	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
27		2pos 9083	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
28	14, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		lemul1 8622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
31	24, 26, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
32		nncn 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> P e. CC )
33		peano2cnm 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. CC -> ( P - 1 ) e. CC )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. CC )
35		2cnd 9065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
36		2ap0 9085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 # 0
37	36	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
38	34, 35, 37	divcanap1d 8820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
41	40	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
42		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> i e. ZZ )
43	3	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ZZ -> 2 e. ZZ )
44	42, 43	zmulcld 9456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
45	44	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i x. 2 ) e. ZZ )
46		nnz 9347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> P e. ZZ )
48		zltlem1 9385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i x. 2 ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
49	45, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) < P <-> ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
50	49	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( P - 1 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
51	41, 50	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ -. 2 || P ) ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
52	51	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( i x. 2 ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
54	31, 53	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) )
55	54	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( 1 <_ i -> ( i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) ) ) )
56	55	imp32 257	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
57	22, 56	sylbi 121	. . . . 5 |- ( i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( i x. 2 ) < P ) )
58	57	impcom 125	. . . 4 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) < P )
59		modqid 10443	. . . 4 |- ( ( ( ( i x. 2 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( i x. 2 ) /\ ( i x. 2 ) < P ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
60	7, 9, 21, 58, 59	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( i x. 2 ) mod P ) = ( i x. 2 ) )
61	60	eqcomd 2202	. 2 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )
62	61	ralrimiva 2570	1 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( i x. 2 ) = ( ( i x. 2 ) mod P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   CCcc 7879   RRcr 7880   0cc0 7881   1c1 7882   x. cmul 7886   < clt 8063   <_ cle 8064   - cmin 8199   # cap 8610   / cdiv 8701   NNcn 8992   2c2 9043   ZZcz 9328   QQcq 9695   ...cfz 10085   mod cmo 10416   || cdvds 11954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fl 10362  df-mod 10417

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15339