Theorem 2lgslem1a2 15774

Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 15775. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Proof of Theorem 2lgslem1a2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9458	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 9366	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ)
5		2z 9482	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
7	4, 6	zmulcld 9583	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℤ)
8	7	zred 9577	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
10		2re 9188	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2pos 9209	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
12	10, 11	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
13	12	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14		ltdiv1 9023	. . 3 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐼 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
15	3, 9, 13, 14	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
16		zcn 9459	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18		2cnd 9191	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19		2ap0 9211	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
20	19	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 # 0)
21	17, 18, 18, 20, 20	divdivap1d 8977	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
22		2t2e4 9273	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	oveq2i 6018	. . . 4 ⊢ (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4)
24	21, 23	eqtrdi 2278	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
25		zcn 9459	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
26	25	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℂ)
27	26, 18, 20	divcanap4d 8951	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 · 2) / 2) = 𝐼)
28	24, 27	breq12d 4096	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2) ↔ (𝑁 / 4) < 𝐼))
29		4nn 9282	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
30		znq 9827	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
31	29, 30	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
32		flqlt 10511	. . 3 ⊢ (((𝑁 / 4) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
33	31, 32	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
34	15, 28, 33	3bitrrd 215	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  ℝcr 8006  0cc0 8007   · cmul 8012   < clt 8189   # cap 8736   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  4c4 9171  ℤcz 9454  ℚcq 9822  ⌊cfl 10496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15775