Theorem 2lgslem1a2 15845

Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 15846. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Proof of Theorem 2lgslem1a2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9488	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 9396	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ)
5		2z 9512	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
7	4, 6	zmulcld 9613	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℤ)
8	7	zred 9607	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 · 2) ∈ ℝ)
10		2re 9218	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2pos 9239	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
12	10, 11	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
13	12	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14		ltdiv1 9053	. . 3 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝐼 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
15	3, 9, 13, 14	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) < (𝐼 · 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2)))
16		zcn 9489	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18		2cnd 9221	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19		2ap0 9241	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
20	19	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 2 # 0)
21	17, 18, 18, 20, 20	divdivap1d 9007	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
22		2t2e4 9303	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	oveq2i 6034	. . . 4 ⊢ (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4)
24	21, 23	eqtrdi 2279	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
25		zcn 9489	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
26	25	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℂ)
27	26, 18, 20	divcanap4d 8981	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 · 2) / 2) = 𝐼)
28	24, 27	breq12d 4102	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑁 / 2) / 2) < ((𝐼 · 2) / 2) ↔ (𝑁 / 4) < 𝐼))
29		4nn 9312	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
30		znq 9863	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
31	29, 30	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
32		flqlt 10549	. . 3 ⊢ (((𝑁 / 4) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
33	31, 32	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 4) < 𝐼 ↔ (⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼))
34	15, 28, 33	3bitrrd 215	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < 𝐼 ↔ (𝑁 / 2) < (𝐼 · 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  ℝcr 8036  0cc0 8037   · cmul 8042   < clt 8219   # cap 8766   / cdiv 8857  ℕcn 9148  2c2 9199  4c4 9201  ℤcz 9484  ℚcq 9858  ⌊cfl 10534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536

This theorem is referenced by:  2lgslem1a  15846