Theorem 2lgslem2 15814

Description: Lemma 2 for 2lgs 15826. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	|- N = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
2lgslem2	|- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem 2lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. 2 |- N = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> P e. Prime )
3		elsng 3682	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P e. { 2 } <-> P = 2 ) )
4		z2even 12468	. . . . . . . 8 |- 2 || 2
5		breq2 4090	. . . . . . . 8 |- ( P = 2 -> ( 2 || P <-> 2 || 2 ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( P = 2 -> 2 || P )
7	3, 6	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P e. { 2 } -> 2 || P ) )
8	7	con3dimp 638	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> -. P e. { 2 } )
9	2, 8	eldifd 3208	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
10		oddprm 12825	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
11	10	nnzd 9594	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
12	9, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
13		prmz 12676	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
14		4nn 9300	. . . . . 6 |- 4 e. NN
15		znq 9851	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P / 4 ) e. QQ )
17	16	flqcld 10530	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
19	12, 18	zsubcld 9600	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) e. ZZ )
20	1, 19	eqeltrid 2316	1 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3195   {csn 3667   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   1c1 8026   - cmin 8343   / cdiv 8845   NNcn 9136   2c2 9187   4c4 9189   ZZcz 9472   QQcq 9846   |_cfl 10521   || cdvds 12341   Primecprime 12672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fl 10523  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-prm 12673

This theorem is referenced by:  2lgs  15826