Theorem 2lgslem2 16096

Description: Lemma 2 for 2lgs 16108. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	|- N = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
2lgslem2	|- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem 2lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. 2 |- N = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> P e. Prime )
3		elsng 3710	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P e. { 2 } <-> P = 2 ) )
4		z2even 12630	. . . . . . . 8 |- 2 || 2
5		breq2 4119	. . . . . . . 8 |- ( P = 2 -> ( 2 || P <-> 2 || 2 ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( P = 2 -> 2 || P )
7	3, 6	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P e. { 2 } -> 2 || P ) )
8	7	con3dimp 640	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> -. P e. { 2 } )
9	2, 8	eldifd 3224	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
10		oddprm 12987	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
11	10	nnzd 9721	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
12	9, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
13		prmz 12838	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
14		4nn 9422	. . . . . 6 |- 4 e. NN
15		znq 9978	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( P / 4 ) e. QQ )
17	16	flqcld 10665	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
19	12, 18	zsubcld 9727	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) e. ZZ )
20	1, 19	eqeltrid 2321	1 |- ( ( P e. Prime /\ -. 2 || P ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   \ cdif 3211   {csn 3695   class class class wbr 4115   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   1c1 8145   - cmin 8462   / cdiv 8967   NNcn 9258   2c2 9309   4c4 9311   ZZcz 9598   QQcq 9973   |_cfl 10656   || cdvds 12503   Primecprime 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-1o 6661  df-2o 6662  df-er 6781  df-en 6990  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-fl 10658  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-dvds 12504  df-prm 12835

This theorem is referenced by:  2lgs  16108