Theorem 2lgslem2 16014

Description: Lemma 2 for 2lgs 16026. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 2lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		elsng 3706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} ↔ 𝑃 = 2))
4		z2even 12608	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 2
5		breq2 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
7	3, 6	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} → 2 ∥ 𝑃))
8	7	con3dimp 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∈ {2})
9	2, 8	eldifd 3223	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
10		oddprm 12965	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 9705	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
12	9, 11	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
13		prmz 12816	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14		4nn 9406	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
15		znq 9962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
17	16	flqcld 10644	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
19	12, 18	zsubcld 9711	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
20	1, 19	eqeltrid 2321	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3210  {csn 3691   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1c1 8133   − cmin 8449   / cdiv 8951  ℕcn 9242  2c2 9293  4c4 9295  ℤcz 9582  ℚcq 9957  ⌊cfl 10635   ∥ cdvds 12481  ℙcprime 12812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fl 10637  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-dvds 12482  df-prm 12813

This theorem is referenced by:  2lgs  16026