Theorem 2lgsoddprmlem3c 15266

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 15268. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9046	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5929	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9062	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10726	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 5929	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 9059	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 9070	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 8026	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 7967	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 10711	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 9055	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 9143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 8024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2217	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 8028	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 5931	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 8032	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 9118	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 5929	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2220	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 5929	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 8238	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2214	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 5929	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		8re 9069	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
28		8pos 9087	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gt0ap0ii 8649	. . 3 ⊢ 8 # 0
30	8, 9, 29	divcanap4i 8780	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2214	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   − cmin 8192   / cdiv 8693  2c2 9035  3c3 9036  4c4 9037  5c5 9038  8c8 9041  ↑cexp 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  15268