Theorem 2lgsoddprmlem3c 15908

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 15910. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9248	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6038	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9264	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10958	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2252	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 6038	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 9261	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 9272	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 8227	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 8168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 10943	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 9257	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 9345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 8225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2255	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 8229	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 6040	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 8233	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 9320	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 6038	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2258	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 6038	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 8439	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2252	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 6038	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		8re 9271	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
28		8pos 9289	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gt0ap0ii 8851	. . 3 ⊢ 8 # 0
30	8, 9, 29	divcanap4i 8982	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2252	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080   − cmin 8393   / cdiv 8895  2c2 9237  3c3 9238  4c4 9239  5c5 9240  8c8 9243  ↑cexp 10844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-seqfrec 10754  df-exp 10845

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  15910