Theorem 2lgsoddprmlem3c 15974

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 15976. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9298	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6059	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9314	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 11013	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2253	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 6059	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 9311	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 9322	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 8278	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 8219	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 10998	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 9307	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 9395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 8276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2256	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 8280	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 6061	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 8284	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 9370	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 6059	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2259	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 6059	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 8489	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2253	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 6059	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		8re 9321	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
28		8pos 9339	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gt0ap0ii 8901	. . 3 ⊢ 8 # 0
30	8, 9, 29	divcanap4i 9032	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2253	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  1c1 8127   + caddc 8129   · cmul 8131   − cmin 8443   / cdiv 8945  2c2 9287  3c3 9288  4c4 9289  5c5 9290  8c8 9293  ↑cexp 10899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-seqfrec 10809  df-exp 10900

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  15976