Theorem 2lgsoddprmlem3c 15809

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 15811. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9188	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6020	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9204	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10891	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2250	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 6020	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 9201	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 9212	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 8167	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 8108	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 10876	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 9197	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 9285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 8165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2253	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 8169	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 6022	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 8173	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 9260	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 6020	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2256	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 6020	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 8379	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2250	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 6020	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		8re 9211	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
28		8pos 9229	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gt0ap0ii 8791	. . 3 ⊢ 8 # 0
30	8, 9, 29	divcanap4i 8922	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2250	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020   − cmin 8333   / cdiv 8835  2c2 9177  3c3 9178  4c4 9179  5c5 9180  8c8 9183  ↑cexp 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-seqfrec 10687  df-exp 10778

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  15811