Theorem 2lgsoddprmlem3c 15350

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 15352. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9052	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5932	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9068	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10744	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2217	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 5932	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 9065	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 9076	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 8031	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 7972	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 10729	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 9061	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 9149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mullidi 8029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2220	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 8033	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 5934	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 8037	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 9124	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 5932	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2223	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 5932	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 8243	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2217	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 5932	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		8re 9075	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
28		8pos 9093	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gt0ap0ii 8655	. . 3 ⊢ 8 # 0
30	8, 9, 29	divcanap4i 8786	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2217	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   − cmin 8197   / cdiv 8699  2c2 9041  3c3 9042  4c4 9043  5c5 9044  8c8 9047  ↑cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  15352