ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezout GIF version

Theorem bezout 12025
Description: Bรฉzout's identity: For any integers ๐ด and ๐ต, there are integers ๐‘ฅ, ๐‘ฆ such that (๐ด gcd ๐ต) = ๐ด ยท ๐‘ฅ + ๐ต ยท ๐‘ฆ. This is Metamath 100 proof #60.

The proof is constructive, in the sense that it applies the Extended Euclidian Algorithm to constuct a number which can be shown to be (๐ด gcd ๐ต) and which satisfies the rest of the theorem. In the presence of excluded middle, it is common to prove Bรฉzout's identity by taking the smallest number which satisfies the Bรฉzout condition, and showing it is the greatest common divisor. But we do not have the ability to show that number exists other than by providing a way to determine it. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)

Assertion
Ref Expression
bezout ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem bezout
Dummy variables ๐‘‘ ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlembi 12019 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2 simprrr 540 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
3 nfv 1538 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค)
4 nfv 1538 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0
5 nfv 1538 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅโˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))
6 nfre1 2530 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))
75, 6nfan 1575 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
84, 7nfan 1575 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
93, 8nfan 1575 . . . 4 โ„ฒ๐‘ฅ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
10 nfv 1538 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ(๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค)
11 nfv 1538 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0
12 nfv 1538 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฆโˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))
13 nfcv 2329 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฆโ„ค
14 nfre1 2530 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))
1513, 14nfrexya 2528 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))
1612, 15nfan 1575 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆ(โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
1711, 16nfan 1575 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฆ(๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
1810, 17nfan 1575 . . . . 5 โ„ฒ๐‘ฆ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
19 dfgcd3 12024 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2019adantr 276 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
21 simprrl 539 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))
22 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
23 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
24 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2523, 24, 22, 21bezoutlemeu 12021 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ โˆƒ!๐‘ค โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))
26 breq2 4019 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค = ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘))
2726bibi1d 233 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = ๐‘‘ โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2827ralbidv 2487 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2928riota2 5866 . . . . . . . . 9 ((๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ!๐‘ค โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†” (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) = ๐‘‘))
3022, 25, 29syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†” (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) = ๐‘‘))
3121, 30mpbid 147 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘ค โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) = ๐‘‘)
3220, 31eqtrd 2220 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = ๐‘‘)
3332eqeq1d 2196 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
3418, 33rexbid 2486 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
359, 34rexbid 2486 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
362, 35mpbird 167 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
371, 36rexlimddv 2609 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆ€wral 2465  โˆƒwrex 2466  โˆƒ!wreu 2467   class class class wbr 4015  โ„ฉcrio 5843  (class class class)co 5888   + caddc 7827   ยท cmul 7829  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266   โˆฅ cdvds 11807   gcd cgcd 11956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808  df-gcd 11957
This theorem is referenced by:  dvdsgcd  12026  dvdsmulgcd  12039  lcmgcdlem  12090  divgcdcoprm0  12114
  Copyright terms: Public domain W3C validator