Theorem metcn 13674

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon" y there is a positive "delta" z such that a distance less than delta in C maps to a distance less than epsilon in D. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcn	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, F   w, J, x, y, z   w, K, x, y, z   w, X, x, y, z   w, Y, x, y, z   w, C, x, y, z   w, D, x, y, z

Proof of Theorem metcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
2	1	mopntopon 13603	. . 3 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		metcn.4	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` D )
4	3	mopntopon 13603	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		cncnp 13390	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
6	2, 4, 5	syl2an 289	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
7	1, 3	metcnp 13672	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
8	7	3expa 1203	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
9	8	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
10		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> F : X --> Y )
11	10	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
12	9, 11	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
13	12	ralbidva 2473	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
14	13	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
15	6, 14	bitrd 188	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4000   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   < clt 7979   RR+crp 9637   *Metcxmet 13140   MetOpencmopn 13145  TopOnctopon 13168   Cn ccn 13345   CnP ccnp 13346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-q 9606  df-rp 9638  df-xneg 9756  df-xadd 9757  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-topgen 12654  df-psmet 13147  df-xmet 13148  df-bl 13150  df-mopn 13151  df-top 13156  df-topon 13169  df-bases 13201  df-cn 13348  df-cnp 13349

This theorem is referenced by:  divcnap  13715  cncfmet  13739