Theorem metcn 13154

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon" y there is a positive "delta" z such that a distance less than delta in C maps to a distance less than epsilon in D. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcn	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, F   w, J, x, y, z   w, K, x, y, z   w, X, x, y, z   w, Y, x, y, z   w, C, x, y, z   w, D, x, y, z

Proof of Theorem metcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
2	1	mopntopon 13083	. . 3 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		metcn.4	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` D )
4	3	mopntopon 13083	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		cncnp 12870	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
6	2, 4, 5	syl2an 287	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
7	1, 3	metcnp 13152	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
8	7	3expa 1193	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
9	8	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
10		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> F : X --> Y )
11	10	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
12	9, 11	bitr4d 190	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
13	12	ralbidva 2462	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
14	13	pm5.32da 448	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
15	6, 14	bitrd 187	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   < clt 7933   RR+crp 9589   *Metcxmet 12620   MetOpencmopn 12625  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825   CnP ccnp 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828  df-cnp 12829

This theorem is referenced by:  divcnap  13195  cncfmet  13219