Theorem demoivre 11815

Description: De Moivre's Formula. Proof by induction given at http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula, but restricted to nonnegative integer powers. See also demoivreALT 11816 for an alternate longer proof not using the exponential function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.)

Assertion

Ref	Expression
demoivre	|- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ^ N ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )

Proof of Theorem demoivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7937	. . . 4 |- _i e. CC
2		mulcl 7969	. . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
4		efexp 11725	. . 3 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) ^ N ) )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) ^ N ) )
6		zcn 9289	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		mul12 8117	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( N x. ( _i x. A ) ) = ( _i x. ( N x. A ) ) )
8	1, 7	mp3an2 1336	. . . . . 6 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( N x. ( _i x. A ) ) = ( _i x. ( N x. A ) ) )
9	8	fveq2d 5538	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( _i x. ( N x. A ) ) ) )
10		mulcl 7969	. . . . . 6 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( N x. A ) e. CC )
11		efival 11775	. . . . . 6 |- ( ( N x. A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( N x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( N x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
13	9, 12	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
14	13	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. CC ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
15	6, 14	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
16		efival 11775	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
17	16	oveq1d 5912	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) ^ N ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ^ N ) )
18	17	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) ^ N ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ^ N ) )
19	5, 15, 18	3eqtr3rd 2231	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ^ N ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   _ici 7844   + caddc 7845   x. cmul 7847   ZZcz 9284   ^cexp 10553   expce 11685   sincsin 11687   cosccos 11688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-ico 9926  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-bc 10763  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-sin 11693  df-cos 11694

This theorem is referenced by: (None)