Theorem demoivre 11735

Description: De Moivre's Formula. Proof by induction given at http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula, but restricted to nonnegative integer powers. See also demoivreALT 11736 for an alternate longer proof not using the exponential function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.)

Assertion

Ref	Expression
demoivre	|- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ^ N ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )

Proof of Theorem demoivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7869	. . . 4 |- _i e. CC
2		mulcl 7901	. . . 4 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
3	1, 2	mpan 422	. . 3 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
4		efexp 11645	. . 3 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) ^ N ) )
5	3, 4	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) ^ N ) )
6		zcn 9217	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		mul12 8048	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( N x. ( _i x. A ) ) = ( _i x. ( N x. A ) ) )
8	1, 7	mp3an2 1320	. . . . . 6 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( N x. ( _i x. A ) ) = ( _i x. ( N x. A ) ) )
9	8	fveq2d 5500	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( _i x. ( N x. A ) ) ) )
10		mulcl 7901	. . . . . 6 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( N x. A ) e. CC )
11		efival 11695	. . . . . 6 |- ( ( N x. A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( N x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. ( N x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
13	9, 12	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ A e. CC ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
14	13	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ N e. CC ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
15	6, 14	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( exp ` ( N x. ( _i x. A ) ) ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )
16		efival 11695	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) )
17	16	oveq1d 5868	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) ^ N ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ^ N ) )
18	17	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) ^ N ) = ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ^ N ) )
19	5, 15, 18	3eqtr3rd 2212	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( cos ` A ) + ( _i x. ( sin ` A ) ) ) ^ N ) = ( ( cos ` ( N x. A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( N x. A ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   _ici 7776   + caddc 7777   x. cmul 7779   ZZcz 9212   ^cexp 10475   expce 11605   sincsin 11607   cosccos 11608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614

This theorem is referenced by: (None)