Theorem demoivre 12484

Description: De Moivre's Formula. Proof by induction given at http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula, but restricted to nonnegative integer powers. See also demoivreALT 12485 for an alternate longer proof not using the exponential function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.)

Assertion

Ref	Expression
demoivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8238	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 8270	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efexp 12393	. . 3 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁))
5	3, 4	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁))
6		zcn 9599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		mul12 8418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · (i · 𝐴)) = (i · (𝑁 · 𝐴)))
8	1, 7	mp3an2 1362	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · (i · 𝐴)) = (i · (𝑁 · 𝐴)))
9	8	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))))
10		mulcl 8270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efival 12443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
13	9, 12	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
14	13	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
15	6, 14	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
16		efival 12443	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
17	16	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
18	17	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
19	5, 15, 18	3eqtr3rd 2276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ici 8145   + caddc 8146   · cmul 8148  ℤcz 9594  ↑cexp 10924  expce 12353  sincsin 12355  cosccos 12356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-sin 12361  df-cos 12362

This theorem is referenced by: (None)