ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsfac GIF version

Theorem dvdsfac 11865
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5515 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐พ))
21breq2d 4015 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ)))
32imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ))))
4 fveq2 5515 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘ฆ))
54breq2d 4015 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ)))
65imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ))))
7 fveq2 5515 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))
87breq2d 4015 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1))))
98imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
10 fveq2 5515 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
1110breq2d 4015 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
1211imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))))
13 nnm1nn0 9216 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
14 faccl 10714 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1615nnzd 9373 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
17 nnz 9271 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
18 dvdsmul2 11820 . . . . . 6 (((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
1916, 17, 18syl2anc 411 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
20 facnn2 10713 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
2119, 20breqtrrd 4031 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ))
2221a1i 9 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐พ)))
2317adantl 277 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
24 elnnuz 9563 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
25 uztrn 9543 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2624, 25sylan2b 287 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
27 elnnuz 9563 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2826, 27sylibr 134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
2928nnnn0d 9228 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
30 faccl 10714 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
3129, 30syl 14 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
3231nnzd 9373 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
3328nnzd 9373 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
3433peano2zd 9377 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค)
35 dvdsmultr1 11837 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
3623, 32, 34, 35syl3anc 1238 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
37 facp1 10709 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) = ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1)))
3829, 37syl 14 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) = ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1)))
3938breq2d 4015 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)) โ†” ๐พ โˆฅ ((!โ€˜๐‘ฆ) ยท (๐‘ฆ + 1))))
4036, 39sylibrd 169 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1))))
4140ex 115 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
4241a2d 26 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜(๐‘ฆ + 1)))))
433, 6, 9, 12, 22, 42uzind4 9587 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
4443impcom 125 1 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   โˆ’ cmin 8127  โ„•cn 8918  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ„คโ‰ฅcuz 9527  !cfa 10704   โˆฅ cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-fac 10705  df-dvds 11794
This theorem is referenced by:  prmunb  12359
  Copyright terms: Public domain W3C validator