ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsfac GIF version

Theorem dvdsfac 10954
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5289 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
21breq2d 3849 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
32imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4 fveq2 5289 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
54breq2d 3849 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
65imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7 fveq2 5289 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
87breq2d 3849 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
98imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10 fveq2 5289 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1110breq2d 3849 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
1211imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13 nnm1nn0 8684 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14 faccl 10108 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1615nnzd 8837 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
17 nnz 8739 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
18 dvdsmul2 10912 . . . . . 6 (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
1916, 17, 18syl2anc 403 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20 facnn2 10107 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
2119, 20breqtrrd 3863 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
2221a1i 9 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
2317adantl 271 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
24 elnnuz 9024 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
25 uztrn 9004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2624, 25sylan2b 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
27 elnnuz 9024 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2826, 27sylibr 132 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
2928nnnn0d 8696 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30 faccl 10108 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
3129, 30syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
3231nnzd 8837 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
3328nnzd 8837 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
3433peano2zd 8841 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
35 dvdsmultr1 10927 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
3623, 32, 34, 35syl3anc 1174 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37 facp1 10103 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3829, 37syl 14 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3938breq2d 3849 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
4036, 39sylibrd 167 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
4140ex 113 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
4241a2d 26 . . 3 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
433, 6, 9, 12, 22, 42uzind4 9045 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
4443impcom 123 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  1c1 7330   + caddc 7332   · cmul 7334  cmin 7632  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  cuz 8988  !cfa 10098  cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-iseq 9818  df-fac 10099  df-dvds 10890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator