Theorem dvdsfac 12610

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
2	1	breq2d 4140	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
3	2	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
5	4	breq2d 4140	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
8	7	breq2d 4140	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
11	10	breq2d 4140	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13		nnm1nn0 9587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14		faccl 11156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 9750	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
17		nnz 9646	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
18		dvdsmul2 12564	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
19	16, 17, 18	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20		facnn2 11155	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
21	19, 20	breqtrrd 4156	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
22	21	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
23	17	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
24		elnnuz 9942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
25		uztrn 9922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
26	24, 25	sylan2b 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
27		elnnuz 9942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 9603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30		faccl 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
32	31	nnzd 9750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
33	28	nnzd 9750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
34	33	peano2zd 9754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
35		dvdsmultr1 12581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
36	23, 32, 34, 35	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37		facp1 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
38	29, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
39	38	breq2d 4140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
40	36, 39	sylibrd 169	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
41	40	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
42	41	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
43	3, 6, 9, 12, 22, 42	uzind4 9971	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
44	43	impcom 125	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178   − cmin 8491  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  !cfa 11146   ∥ cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-fac 11147  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  prmunb  13124