Theorem lgsprme0 14528

Description: The Legendre symbol at any prime (even at 2) is 0 iff the prime does not divide the first argument. See definition in [ApostolNT] p. 179. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsprme0	|- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( ( A /L P ) = 0 <-> ( A mod P ) = 0 ) )

Proof of Theorem lgsprme0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12113	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
2		lgscl 14500	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( A /L P ) e. ZZ )
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( A /L P ) e. ZZ )
4		0z 9266	. . 3 |- 0 e. ZZ
5		zdceq 9330	. . 3 |- ( ( ( A /L P ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( A /L P ) = 0 )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> DECID ( A /L P ) = 0 )
7		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> A e. ZZ )
8		prmnn 12112	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	8	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> P e. NN )
10	7, 9	zmodcld 10347	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( A mod P ) e. NN0 )
11	10	nn0zd 9375	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( A mod P ) e. ZZ )
12		zdceq 9330	. . 3 |- ( ( ( A mod P ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( A mod P ) = 0 )
13	11, 4, 12	sylancl 413	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> DECID ( A mod P ) = 0 )
14		lgsne0 14524	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( A /L P ) =/= 0 <-> ( A gcd P ) = 1 ) )
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( ( A /L P ) =/= 0 <-> ( A gcd P ) = 1 ) )
16		coprm 12146	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
17	16	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( -. P || A <-> ( P gcd A ) = 1 ) )
18	1	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( P e. ZZ /\ A e. ZZ ) )
19	18	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( P e. ZZ /\ A e. ZZ ) )
20		gcdcom 11976	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( P gcd A ) = ( A gcd P ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( P gcd A ) = ( A gcd P ) )
22	21	eqeq1d 2186	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( ( P gcd A ) = 1 <-> ( A gcd P ) = 1 ) )
23	17, 22	bitr2d 189	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( ( A gcd P ) = 1 <-> -. P || A ) )
24		dvdsval3 11800	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ A e. ZZ ) -> ( P || A <-> ( A mod P ) = 0 ) )
25	8, 24	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( P || A <-> ( A mod P ) = 0 ) )
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( P || A <-> ( A mod P ) = 0 ) )
27	26	notbid 667	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( -. P || A <-> -. ( A mod P ) = 0 ) )
28	15, 23, 27	3bitrd 214	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( ( A /L P ) =/= 0 <-> -. ( A mod P ) = 0 ) )
29	28	2a1d 23	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> (DECID ( A /L P ) = 0 -> (DECID ( A mod P ) = 0 -> ( ( A /L P ) =/= 0 <-> -. ( A mod P ) = 0 ) ) ) )
30	29	necon4abiddc 2420	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> (DECID ( A /L P ) = 0 -> (DECID ( A mod P ) = 0 -> ( ( A /L P ) = 0 <-> ( A mod P ) = 0 ) ) ) )
31	6, 13, 30	mp2d 47	1 |- ( ( A e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( ( A /L P ) = 0 <-> ( A mod P ) = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   0cc0 7813   1c1 7814   NNcn 8921   ZZcz 9255   mod cmo 10324   || cdvds 11796   gcd cgcd 11945   Primecprime 12109   /Lclgs 14483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-phi 12213  df-pc 12287  df-lgs 14484

This theorem is referenced by: (None)