Theorem dvmptsubcn 15605

Description: Function-builder for derivative, subtraction rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
dvmptcmulcn.b	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
dvmptcmulcn.da	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
dvmptsubcn.c	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> C e. CC )
dvmptsubcn.d	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. W )
dvmptsubcn.dc	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> C ) ) = ( x e. CC |-> D ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptsubcn	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )

Distinct variable groups:   x, V   ph, x   x, W

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvmptsubcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 8265	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
3		dvmptcmulcn.a	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
4		dvmptcmulcn.b	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
5		dvmptcmulcn.da	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
6		ssidd 3261	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
7		dvmptsubcn.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> C e. CC )
8	7	negcld 8573	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> -u C e. CC )
9		dvmptsubcn.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. W )
10		dvmptsubcn.dc	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> C ) ) = ( x e. CC |-> D ) )
11	2, 7, 9, 10, 6	dvmptclx 15600	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. CC )
12	11	negcld 8573	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> -u D e. CC )
13	7, 9, 10	dvmptnegcn 15604	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> -u C ) ) = ( x e. CC |-> -u D ) )
14	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13	dvmptaddx 15601	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B + -u D ) ) )
15	3, 7	negsubd 8592	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( A + -u C ) = ( A - C ) )
16	15	mpteq2dva 4202	. . 3 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) = ( x e. CC |-> ( A - C ) ) )
17	16	oveq2d 6068	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) )
18	2, 3, 4, 5, 6	dvmptclx 15600	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. CC )
19	18, 11	negsubd 8592	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( B + -u D ) = ( B - D ) )
20	19	mpteq2dva 4202	. 2 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( B + -u D ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )
21	14, 17, 20	3eqtr3d 2275	1 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cpr 3692   |-> cmpt 4173  (class class class)co 6052   CCcc 8127   RRcr 8128   + caddc 8132   - cmin 8446   -ucneg 8447   _D cdv 15537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249  ax-addf 8251  ax-mulf 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-map 6886  df-pm 6887  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-xneg 10108  df-xadd 10109  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-rest 13471  df-topgen 13490  df-psmet 14708  df-xmet 14709  df-met 14710  df-bl 14711  df-mopn 14712  df-top 14880  df-topon 14893  df-bases 14925  df-ntr 14978  df-cn 15070  df-cnp 15071  df-tx 15135  df-cncf 15453  df-limced 15538  df-dvap 15539

This theorem is referenced by:  dvef  15609