Theorem dvmptsubcn 15356

Description: Function-builder for derivative, subtraction rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
dvmptcmulcn.b	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
dvmptcmulcn.da	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
dvmptsubcn.c	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> C e. CC )
dvmptsubcn.d	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. W )
dvmptsubcn.dc	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> C ) ) = ( x e. CC |-> D ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptsubcn	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )

Distinct variable groups:   x, V   ph, x   x, W

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvmptsubcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 8098	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
3		dvmptcmulcn.a	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
4		dvmptcmulcn.b	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
5		dvmptcmulcn.da	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
6		ssidd 3223	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
7		dvmptsubcn.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> C e. CC )
8	7	negcld 8407	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> -u C e. CC )
9		dvmptsubcn.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. W )
10		dvmptsubcn.dc	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> C ) ) = ( x e. CC |-> D ) )
11	2, 7, 9, 10, 6	dvmptclx 15351	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. CC )
12	11	negcld 8407	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> -u D e. CC )
13	7, 9, 10	dvmptnegcn 15355	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> -u C ) ) = ( x e. CC |-> -u D ) )
14	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13	dvmptaddx 15352	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B + -u D ) ) )
15	3, 7	negsubd 8426	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( A + -u C ) = ( A - C ) )
16	15	mpteq2dva 4151	. . 3 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) = ( x e. CC |-> ( A - C ) ) )
17	16	oveq2d 5985	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) )
18	2, 3, 4, 5, 6	dvmptclx 15351	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. CC )
19	18, 11	negsubd 8426	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( B + -u D ) = ( B - D ) )
20	19	mpteq2dva 4151	. 2 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( B + -u D ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )
21	14, 17, 20	3eqtr3d 2248	1 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cpr 3645   |-> cmpt 4122  (class class class)co 5969   CCcc 7960   RRcr 7961   + caddc 7965   - cmin 8280   -ucneg 8281   _D cdv 15288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080  ax-arch 8081  ax-caucvg 8082  ax-addf 8084  ax-mulf 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-isom 5300  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-of 6183  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-map 6762  df-pm 6763  df-sup 7114  df-inf 7115  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-q 9778  df-rp 9813  df-xneg 9931  df-xadd 9932  df-seqfrec 10632  df-exp 10723  df-cj 11314  df-re 11315  df-im 11316  df-rsqrt 11470  df-abs 11471  df-rest 13234  df-topgen 13253  df-psmet 14466  df-xmet 14467  df-met 14468  df-bl 14469  df-mopn 14470  df-top 14631  df-topon 14644  df-bases 14676  df-ntr 14729  df-cn 14821  df-cnp 14822  df-tx 14886  df-cncf 15204  df-limced 15289  df-dvap 15290

This theorem is referenced by:  dvef  15360