Theorem dvmptsubcn 12857

Description: Function-builder for derivative, subtraction rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
dvmptcmulcn.b	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
dvmptcmulcn.da	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
dvmptsubcn.c	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> C e. CC )
dvmptsubcn.d	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. W )
dvmptsubcn.dc	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> C ) ) = ( x e. CC |-> D ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptsubcn	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )

Distinct variable groups:   x, V   ph, x   x, W

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem dvmptsubcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 7759	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
3		dvmptcmulcn.a	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
4		dvmptcmulcn.b	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
5		dvmptcmulcn.da	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
6		ssidd 3118	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
7		dvmptsubcn.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> C e. CC )
8	7	negcld 8063	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> -u C e. CC )
9		dvmptsubcn.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. W )
10		dvmptsubcn.dc	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> C ) ) = ( x e. CC |-> D ) )
11	2, 7, 9, 10, 6	dvmptclx 12852	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> D e. CC )
12	11	negcld 8063	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> -u D e. CC )
13	7, 9, 10	dvmptnegcn 12856	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> -u C ) ) = ( x e. CC |-> -u D ) )
14	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13	dvmptaddx 12853	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B + -u D ) ) )
15	3, 7	negsubd 8082	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( A + -u C ) = ( A - C ) )
16	15	mpteq2dva 4018	. . 3 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) = ( x e. CC |-> ( A - C ) ) )
17	16	oveq2d 5790	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A + -u C ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) )
18	2, 3, 4, 5, 6	dvmptclx 12852	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. CC )
19	18, 11	negsubd 8082	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( B + -u D ) = ( B - D ) )
20	19	mpteq2dva 4018	. 2 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( B + -u D ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )
21	14, 17, 20	3eqtr3d 2180	1 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( A - C ) ) ) = ( x e. CC |-> ( B - D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cpr 3528   |-> cmpt 3989  (class class class)co 5774   CCcc 7621   RRcr 7622   + caddc 7626   - cmin 7936   -ucneg 7937   _D cdv 12796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743  ax-addf 7745  ax-mulf 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-xneg 9562  df-xadd 9563  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-rest 12125  df-topgen 12144  df-psmet 12159  df-xmet 12160  df-met 12161  df-bl 12162  df-mopn 12163  df-top 12168  df-topon 12181  df-bases 12213  df-ntr 12268  df-cn 12360  df-cnp 12361  df-tx 12425  df-cncf 12730  df-limced 12797  df-dvap 12798

This theorem is referenced by:  dvef  12859