ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ef2pi Unicode version

Theorem ef2pi 12932
Description: The exponential of  2 pi _i is  1. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ef2pi  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  1

Proof of Theorem ef2pi
StepHypRef Expression
1 2cn 8814 . . . 4  |-  2  e.  CC
2 picn 12914 . . . 4  |-  pi  e.  CC
31, 2mulcli 7794 . . 3  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
4 efival 11473 . . 3  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( cos `  (
2  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
2  x.  pi ) ) ) ) )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( cos `  (
2  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
2  x.  pi ) ) ) )
6 cos2pi 12931 . . . 4  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
7 sin2pi 12930 . . . . . 6  |-  ( sin `  ( 2  x.  pi ) )  =  0
87oveq2i 5792 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( sin `  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( _i  x.  0 )
9 it0e0 8964 . . . . 5  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
108, 9eqtri 2161 . . . 4  |-  ( _i  x.  ( sin `  (
2  x.  pi ) ) )  =  0
116, 10oveq12i 5793 . . 3  |-  ( ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( 1  +  0 )
12 1p0e1 8859 . . 3  |-  ( 1  +  0 )  =  1
1311, 12eqtri 2161 . 2  |-  ( ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  1
145, 13eqtri 2161 1  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1332    e. wcel 1481   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   CCcc 7641   0cc0 7643   1c1 7644   _ici 7645    + caddc 7646    x. cmul 7648   2c2 8794   expce 11383   sincsin 11385   cosccos 11386   picpi 11388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763  ax-pre-suploc 7764  ax-addf 7765  ax-mulf 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-disj 3914  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-of 5989  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-map 6551  df-pm 6552  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-5 8805  df-6 8806  df-7 8807  df-8 8808  df-9 8809  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-ioo 9704  df-ioc 9705  df-ico 9706  df-icc 9707  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-fac 10503  df-bc 10525  df-ihash 10553  df-shft 10618  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079  df-sumdc 11154  df-ef 11389  df-sin 11391  df-cos 11392  df-pi 11394  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-met 12195  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-ntr 12302  df-cn 12394  df-cnp 12395  df-tx 12459  df-cncf 12764  df-limced 12831  df-dvap 12832
This theorem is referenced by:  ef2kpi  12933
  Copyright terms: Public domain W3C validator