Theorem prmdvdsexpr 10923

Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsexpr	|- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( P || ( Q ^ N ) -> P = Q ) )

Proof of Theorem prmdvdsexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8585	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		prmdvdsexpb 10922	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime /\ N e. NN ) -> ( P || ( Q ^ N ) <-> P = Q ) )
3	2	biimpd 142	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime /\ N e. NN ) -> ( P || ( Q ^ N ) -> P = Q ) )
4	3	3expia 1143	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( N e. NN -> ( P || ( Q ^ N ) -> P = Q ) ) )
5		prmnn 10886	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. Prime -> Q e. NN )
6	5	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> Q e. NN )
7	6	nncnd 8348	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> Q e. CC )
8	7	exp0d 9929	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( Q ^ 0 ) = 1 )
9	8	breq2d 3826	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( P || ( Q ^ 0 ) <-> P || 1 ) )
10		nprmdvds1 10915	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
11	10	pm2.21d 582	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P || 1 -> P = Q ) )
12	11	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( P || 1 -> P = Q ) )
13	9, 12	sylbid 148	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( P || ( Q ^ 0 ) -> P = Q ) )
14		oveq2 5602	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( Q ^ N ) = ( Q ^ 0 ) )
15	14	breq2d 3826	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( P || ( Q ^ N ) <-> P || ( Q ^ 0 ) ) )
16	15	imbi1d 229	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( P || ( Q ^ N ) -> P = Q ) <-> ( P || ( Q ^ 0 ) -> P = Q ) ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( N = 0 -> ( P || ( Q ^ N ) -> P = Q ) ) )
18	4, 17	jaod 670	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( P || ( Q ^ N ) -> P = Q ) ) )
19	1, 18	syl5bi 150	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( N e. NN0 -> ( P || ( Q ^ N ) -> P = Q ) ) )
20	19	3impia 1138	1 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime /\ N e. NN0 ) -> ( P || ( Q ^ N ) -> P = Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 662   /\ w3a 922   = wceq 1287   e. wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   0cc0 7271   1c1 7272   NNcn 8334   NN0cn0 8583   ^cexp 9805   || cdvds 10590   Primecprime 10883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-1o 6116  df-2o 6117  df-er 6225  df-en 6391  df-sup 6600  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044  df-fz 9334  df-fzo 9458  df-fl 9580  df-mod 9633  df-iseq 9755  df-iexp 9806  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119  df-rsqrt 10272  df-abs 10273  df-dvds 10591  df-gcd 10733  df-prm 10884

This theorem is referenced by: (None)