Theorem pceq0 12896

Description: There are zero powers of a prime P in N iff P does not divide N. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pceq0	|- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) = 0 <-> -. P || N ) )

Proof of Theorem pceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 9171	. . . . 5 |- ( ( P pCnt N ) e. NN -> ( P pCnt N ) =/= 0 )
2	1	neneqd 2423	. . . 4 |- ( ( P pCnt N ) e. NN -> -. ( P pCnt N ) = 0 )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) e. NN ) -> -. ( P pCnt N ) = 0 )
4		pcelnn 12895	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) e. NN <-> P || N ) )
5	4	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) e. NN ) -> P || N )
6	5	notnotd 635	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) e. NN ) -> -. -. P || N )
7	3, 6	2falsed 709	. 2 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) = 0 <-> -. P || N ) )
8		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> ( P pCnt N ) = 0 )
9	1	necon2bi 2457	. . . . 5 |- ( ( P pCnt N ) = 0 -> -. ( P pCnt N ) e. NN )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> -. ( P pCnt N ) e. NN )
11	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> ( ( P pCnt N ) e. NN <-> P || N ) )
12	10, 11	mtbid 678	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> -. P || N )
13	8, 12	2thd 175	. 2 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> ( ( P pCnt N ) = 0 <-> -. P || N ) )
14		pccl 12873	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( P pCnt N ) e. NN0 )
15		elnn0 9404	. . 3 |- ( ( P pCnt N ) e. NN0 <-> ( ( P pCnt N ) e. NN \/ ( P pCnt N ) = 0 ) )
16	14, 15	sylib 122	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) e. NN \/ ( P pCnt N ) = 0 ) )
17	7, 13, 16	mpjaodan 805	1 |- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) = 0 <-> -. P || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   0cc0 8032   NNcn 9143   NN0cn0 9402   || cdvds 12349   Primecprime 12680   pCnt cpc 12858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10530  df-mod 10585  df-seqfrec 10710  df-exp 10801  df-cj 11403  df-re 11404  df-im 11405  df-rsqrt 11559  df-abs 11560  df-dvds 12350  df-gcd 12526  df-prm 12681  df-pc 12859

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12907  pcaddlem  12913  pcmpt  12917  pcprod  12920  lgsval2lem  15741  lgsmod  15757  lgsdilem2  15767  lgsne0  15769