ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pceq0 Unicode version

Theorem pceq0 12287
Description: There are zero powers of a prime  P in  N iff  P does not divide  N. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pceq0  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  P  ||  N ) )

Proof of Theorem pceq0
StepHypRef Expression
1 nnne0 8918 . . . . 5  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN  ->  ( P  pCnt  N )  =/=  0
)
21neneqd 2366 . . . 4  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN  ->  -.  ( P  pCnt  N )  =  0 )
32adantl 277 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  e.  NN )  ->  -.  ( P  pCnt  N )  =  0 )
4 pcelnn 12286 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  e.  NN  <->  P  ||  N
) )
54biimpa 296 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  e.  NN )  ->  P  ||  N
)
65notnotd 630 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  e.  NN )  ->  -.  -.  P  ||  N )
73, 62falsed 702 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  e.  NN )  ->  ( ( P 
pCnt  N )  =  0  <->  -.  P  ||  N ) )
8 simpr 110 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  =  0 )  ->  ( P  pCnt  N )  =  0 )
91necon2bi 2400 . . . . 5  |-  ( ( P  pCnt  N )  =  0  ->  -.  ( P  pCnt  N )  e.  NN )
109adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  =  0 )  ->  -.  ( P  pCnt  N )  e.  NN )
114adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  =  0 )  ->  ( ( P 
pCnt  N )  e.  NN  <->  P 
||  N ) )
1210, 11mtbid 672 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  =  0 )  ->  -.  P  ||  N
)
138, 122thd 175 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( P  pCnt  N )  =  0 )  ->  ( ( P 
pCnt  N )  =  0  <->  -.  P  ||  N ) )
14 pccl 12265 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  N )  e. 
NN0 )
15 elnn0 9149 . . 3  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN0  <->  ( ( P 
pCnt  N )  e.  NN  \/  ( P  pCnt  N
)  =  0 ) )
1614, 15sylib 122 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  e.  NN  \/  ( P  pCnt  N )  =  0 ) )
177, 13, 16mpjaodan 798 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  P  ||  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   0cc0 7786   NNcn 8890   NN0cn0 9147    || cdvds 11761   Primecprime 12073    pCnt cpc 12250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-dvds 11762  df-gcd 11910  df-prm 12074  df-pc 12251
This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12298  pcaddlem  12304  pcmpt  12307  pcprod  12310  lgsval2lem  13904  lgsmod  13920  lgsdilem2  13930  lgsne0  13932
  Copyright terms: Public domain W3C validator