Theorem pceq0 12998

Description: There are zero powers of a prime P in N iff P does not divide N. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pceq0	|- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) = 0 <-> -. P || N ) )

Proof of Theorem pceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 9253	. . . . 5 |- ( ( P pCnt N ) e. NN -> ( P pCnt N ) =/= 0 )
2	1	neneqd 2433	. . . 4 |- ( ( P pCnt N ) e. NN -> -. ( P pCnt N ) = 0 )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) e. NN ) -> -. ( P pCnt N ) = 0 )
4		pcelnn 12997	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) e. NN <-> P || N ) )
5	4	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) e. NN ) -> P || N )
6	5	notnotd 635	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) e. NN ) -> -. -. P || N )
7	3, 6	2falsed 710	. 2 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) = 0 <-> -. P || N ) )
8		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> ( P pCnt N ) = 0 )
9	1	necon2bi 2467	. . . . 5 |- ( ( P pCnt N ) = 0 -> -. ( P pCnt N ) e. NN )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> -. ( P pCnt N ) e. NN )
11	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> ( ( P pCnt N ) e. NN <-> P || N ) )
12	10, 11	mtbid 679	. . 3 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> -. P || N )
13	8, 12	2thd 175	. 2 |- ( ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) /\ ( P pCnt N ) = 0 ) -> ( ( P pCnt N ) = 0 <-> -. P || N ) )
14		pccl 12975	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( P pCnt N ) e. NN0 )
15		elnn0 9486	. . 3 |- ( ( P pCnt N ) e. NN0 <-> ( ( P pCnt N ) e. NN \/ ( P pCnt N ) = 0 ) )
16	14, 15	sylib 122	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) e. NN \/ ( P pCnt N ) = 0 ) )
17	7, 13, 16	mpjaodan 806	1 |- ( ( P e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( P pCnt N ) = 0 <-> -. P || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4102  (class class class)co 6041   0cc0 8115   NNcn 9225   NN0cn0 9484   || cdvds 12451   Primecprime 12782   pCnt cpc 12960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232  ax-pre-mulext 8233  ax-arch 8234  ax-caucvg 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-po 4408  df-iso 4409  df-iord 4478  df-on 4480  df-ilim 4481  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-isom 5352  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-frec 6613  df-1o 6638  df-2o 6639  df-er 6758  df-en 6967  df-sup 7266  df-inf 7267  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-ap 8844  df-div 8935  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-4 9286  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-q 9938  df-rp 9973  df-fz 10329  df-fzo 10463  df-fl 10616  df-mod 10671  df-seqfrec 10796  df-exp 10887  df-cj 11505  df-re 11506  df-im 11507  df-rsqrt 11661  df-abs 11662  df-dvds 12452  df-gcd 12628  df-prm 12783  df-pc 12961

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  13009  pcaddlem  13015  pcmpt  13019  pcprod  13022  lgsval2lem  15853  lgsmod  15869  lgsdilem2  15879  lgsne0  15881