Theorem ex-fac 13111

Description: Example for df-fac 10504. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8806	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5432	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9020	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10508	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2161	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10511	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 8880	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5794	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9021	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9018	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2140	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9016	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9017	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 8824	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 8815	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9305	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 7797	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 7929	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9265	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 8822	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9307	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 7797	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9270	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2161	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2161	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649  2c2 8795  4c4 8797  5c5 8798  ℕ₀cn0 9001  ;cdc 9206  !cfa 10503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-dec 9207  df-uz 9351  df-seqfrec 10250  df-fac 10504

This theorem is referenced by: (None)