Theorem ex-fac 16324

Description: Example for df-fac 10987. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9204	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5642	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9420	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10991	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2252	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10994	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9279	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 6029	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9421	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2231	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9416	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9417	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 9222	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 9213	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9709	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 8185	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 8321	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9669	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 9220	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9711	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 8185	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9674	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2252	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2252	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036  2c2 9193  4c4 9195  5c5 9196  ℕ₀cn0 9401  ;cdc 9610  !cfa 10986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-fac 10987

This theorem is referenced by: (None)