Theorem ex-fac 16496

Description: Example for df-fac 11088. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9299	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5673	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9515	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 11092	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2253	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 11095	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9374	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 6062	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9516	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9513	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2232	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9511	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9512	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 9317	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 9308	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9808	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 8281	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 8416	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9768	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 9315	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9810	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 8281	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9773	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2253	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2253	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132  2c2 9288  4c4 9290  5c5 9291  ℕ₀cn0 9496  ;cdc 9709  !cfa 11087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-fac 11088

This theorem is referenced by: (None)