Theorem ex-fac 12940

Description: Example for df-fac 10472. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8782	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5424	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 8996	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10476	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2160	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10479	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 8856	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5786	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 8997	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 8994	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2139	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 8992	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 8993	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 8800	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 8791	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9281	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 7773	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 7905	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9241	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 8798	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9283	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 7773	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9246	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2160	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2160	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625  2c2 8771  4c4 8773  5c5 8774  ℕ₀cn0 8977  ;cdc 9182  !cfa 10471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-dec 9183  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-fac 10472

This theorem is referenced by: (None)