Theorem ex-fac 16425

Description: Example for df-fac 11034. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9247	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5651	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9463	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 11038	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2252	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 11041	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9322	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 6040	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9464	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9461	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2231	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9459	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9460	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 9265	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 9256	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9754	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 8229	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 8364	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9714	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 9263	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9756	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 8229	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9719	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2252	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2252	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080  2c2 9236  4c4 9238  5c5 9239  ℕ₀cn0 9444  ;cdc 9655  !cfa 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-seqfrec 10756  df-fac 11034

This theorem is referenced by: (None)