Theorem ex-fac 13724

Description: Example for df-fac 10649. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8929	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5497	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9143	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10653	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2191	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10656	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9003	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5863	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9144	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9141	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2170	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9139	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9140	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 8947	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 8938	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9431	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 7916	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 8051	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9391	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 8945	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9433	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 7916	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9396	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2191	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2191	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  0cc0 7763  1c1 7764   + caddc 7766   · cmul 7768  2c2 8918  4c4 8920  5c5 8921  ℕ₀cn0 9124  ;cdc 9332  !cfa 10648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-5 8929  df-6 8930  df-7 8931  df-8 8932  df-9 8933  df-n0 9125  df-z 9202  df-dec 9333  df-uz 9477  df-seqfrec 10391  df-fac 10649

This theorem is referenced by: (None)