Theorem ex-fac 13569

Description: Example for df-fac 10635. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8915	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5488	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9129	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10639	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2186	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10642	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 8989	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5853	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9130	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9127	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2165	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9125	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 8933	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 8924	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9417	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 7902	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 8037	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9377	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 8931	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9419	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 7902	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9382	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2186	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2186	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  0cc0 7749  1c1 7750   + caddc 7752   · cmul 7754  2c2 8904  4c4 8906  5c5 8907  ℕ₀cn0 9110  ;cdc 9318  !cfa 10634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918  df-9 8919  df-n0 9111  df-z 9188  df-dec 9319  df-uz 9463  df-seqfrec 10377  df-fac 10635

This theorem is referenced by: (None)