Theorem ex-fac 16050

Description: Example for df-fac 10943. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9168	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5629	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9384	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10947	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2250	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10950	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9243	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 6012	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9385	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9382	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9380	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9381	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 9186	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 9177	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9673	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 8149	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 8285	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9633	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 9184	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9675	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 8149	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9638	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2250	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2250	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000  2c2 9157  4c4 9159  5c5 9160  ℕ₀cn0 9365  ;cdc 9574  !cfa 10942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-fac 10943

This theorem is referenced by: (None)