Theorem ex-fac 15220

Description: Example for df-fac 10797. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9044	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5557	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9259	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10801	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2214	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10804	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9118	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5930	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9260	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9257	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2193	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9255	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9256	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 9062	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 9053	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9547	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 8026	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 8162	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9507	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 9060	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9549	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 8026	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9512	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2214	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2214	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  2c2 9033  4c4 9035  5c5 9036  ℕ₀cn0 9240  ;cdc 9448  !cfa 10796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-fac 10797

This theorem is referenced by: (None)