Theorem ex-fac 15664

Description: Example for df-fac 10871. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9098	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5579	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9314	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10875	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2226	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10878	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9173	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5956	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9315	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9312	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2205	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9310	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9311	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 9116	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 9107	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9603	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 8079	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 8215	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9563	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 9114	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9605	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 8079	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9568	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2226	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2226	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   · cmul 7930  2c2 9087  4c4 9089  5c5 9090  ℕ₀cn0 9295  ;cdc 9504  !cfa 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-fac 10871

This theorem is referenced by: (None)