Theorem ex-fac 11928

Description: Example for df-fac 10195. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8545	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5321	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 8753	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10199	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2109	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10202	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 8613	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5678	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 8754	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 8751	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2089	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 8749	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 8750	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 8563	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 8554	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9037	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 7556	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 7686	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 8997	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 8561	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9039	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 7556	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9002	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2109	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2109	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416  2c2 8534  4c4 8536  5c5 8537  ℕ₀cn0 8734  ;cdc 8938  !cfa 10194

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-5 8545  df-6 8546  df-7 8547  df-8 8548  df-9 8549  df-n0 8735  df-z 8812  df-dec 8939  df-uz 9081  df-iseq 9914  df-fac 10195

This theorem is referenced by: (None)