Theorem ex-fac 15626

Description: Example for df-fac 10869. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9097	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5578	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9313	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10873	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2225	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10876	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9172	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5955	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9314	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9311	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2204	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9309	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9310	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 9115	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 9106	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9602	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 8078	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 8214	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9562	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 9113	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9604	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 8078	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9567	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2225	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2225	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  0cc0 7924  1c1 7925   + caddc 7927   · cmul 7929  2c2 9086  4c4 9088  5c5 9089  ℕ₀cn0 9294  ;cdc 9503  !cfa 10868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-dec 9504  df-uz 9648  df-seqfrec 10591  df-fac 10869

This theorem is referenced by: (None)