Theorem ex-fac 14863

Description: Example for df-fac 10723. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8998	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5532	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 9212	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 10727	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2209	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 10730	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 9072	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5902	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 9213	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 9210	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2188	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 9208	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 9209	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 9016	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 9007	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 9500	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 7981	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 8117	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9460	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 9014	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 9502	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 7981	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9465	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2209	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2209	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  ‘cfv 5230  (class class class)co 5890  0cc0 7828  1c1 7829   + caddc 7831   · cmul 7833  2c2 8987  4c4 8989  5c5 8990  ℕ₀cn0 9193  ;cdc 9401  !cfa 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-7 9000  df-8 9001  df-9 9002  df-n0 9194  df-z 9271  df-dec 9402  df-uz 9546  df-seqfrec 10463  df-fac 10723

This theorem is referenced by: (None)