Theorem facndiv 10813

Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facndiv	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem facndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8991	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		recnz 9413	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ad2ant2lr 510	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
5		facdiv 10812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
6	5	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9441	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	adantrl 478	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
9		zsubcl 9361	. . . . 5 ⊢ (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ)
10	9	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
11	8, 10	syl5com 29	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
12		faccl 10809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 8998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
14		peano2cn 8156	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑀) ∈ ℂ → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
17	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
18		nncn 8992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
20		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20	nnap0d 9030	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 # 0)
22	16, 17, 19, 21	divsubdirapd 8851	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
23		ax-1cn 7967	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		pncan2 8228	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
25	13, 23, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
26	25	oveq1d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
27	26	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
28	22, 27	eqtr3d 2228	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
29	28	eleq1d 2262	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ ↔ (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
30	11, 29	sylibd 149	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
31	4, 30	mtod 664	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192   / cdiv 8693  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  !cfa 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-fac 10800

This theorem is referenced by:  infpnlem1  12500