ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facndiv GIF version

Theorem facndiv 10516
Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facndiv (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem facndiv
StepHypRef Expression
1 nnre 8750 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 recnz 9167 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
31, 2sylan 281 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2ant2lr 502 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
5 facdiv 10515 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
653expa 1182 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 9195 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
87adantrl 470 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
9 zsubcl 9118 . . . . 5 (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ)
109ex 114 . . . 4 ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
118, 10syl5com 29 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
12 faccl 10512 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1312nncnd 8757 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
14 peano2cn 7920 . . . . . . . 8 ((!‘𝑀) ∈ ℂ → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1615ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1713ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
18 nncn 8751 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1918ad2antlr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
20 simplr 520 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2120nnap0d 8789 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁 # 0)
2216, 17, 19, 21divsubdirapd 8613 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
23 ax-1cn 7736 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
24 pncan2 7992 . . . . . . . 8 (((!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
2513, 23, 24sylancl 410 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
2625oveq1d 5796 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
2726ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
2822, 27eqtr3d 2175 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
2928eleq1d 2209 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ ↔ (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
3011, 29sylibd 148 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
314, 30mtod 653 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642  1c1 7644   + caddc 7646   < clt 7823  cle 7824  cmin 7956   / cdiv 8455  cn 8743  0cn0 9000  cz 9077  !cfa 10502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-seqfrec 10249  df-fac 10503
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator