Theorem ffvelrnda 5595

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelrnd.1	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnda	|- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelrnda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.1	. 2 |- ( ph -> F : A --> B )
2		ffvelrn 5593	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
3	1, 2	sylan 281	1 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2125   -->wf 5159   ` cfv 5163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171

This theorem is referenced by:  ffvelrnd  5596  f1ocnvdm  5722  foeqcnvco  5731  f1oiso2  5768  offeq  6035  suppssof1  6039  ofco  6040  caofref  6043  caofinvl  6044  caofcom  6045  caofrss  6046  caoftrn  6047  smofvon2dm  6233  smofvon  6236  mapxpen  6782  xpmapenlem  6783  en2eqpr  6841  supisoex  6941  ordiso2  6965  omp1eomlem  7024  ctssdccl  7041  ctssdc  7043  enumctlemm  7044  enomnilem  7060  fodjuomnilemdc  7066  ismkvnex  7077  enmkvlem  7083  enwomnilem  7091  cc3  7167  cauappcvgprlemladdru  7555  cauappcvgprlemladdrl  7556  caucvgprlemladdrl  7577  caucvgprprlemopu  7598  caucvgprprlemexbt  7605  caucvgprprlemexb  7606  caucvgsrlemcl  7688  caucvgsrlemfv  7690  caucvgsrlemcau  7692  caucvgsrlembound  7693  caucvgsrlemoffval  7695  caucvgsrlemofff  7696  caucvgsrlemoffgt1  7698  caucvgsrlemoffres  7699  caucvgsr  7701  axcaucvglemcl  7794  frecuzrdgfunlem  10296  monoord2  10354  seq3f1o  10381  seq3homo  10387  seqfeq3  10389  zfz1isolemiso  10687  seq3coll  10690  resqrexlemfp1  10886  resqrexlemover  10887  resqrexlemdec  10888  resqrexlemlo  10890  resqrexlemcalc1  10891  resqrexlemcalc2  10892  resqrexlemcalc3  10893  resqrexlemgt0  10897  resqrexlemsqa  10901  clim2ser  11211  clim2ser2  11212  isermulc2  11214  iserle  11216  climserle  11219  climrecvg1n  11222  climcvg1nlem  11223  summodclem3  11254  summodclem2a  11255  fsumgcl  11260  fsum3  11261  fsumf1o  11264  isumss  11265  fisumss  11266  fsumcl2lem  11272  fsumadd  11280  isumclim3  11297  isummulc2  11300  isumrecl  11303  isumadd  11305  fsummulc2  11322  iserabs  11349  cvgcmpub  11350  isumshft  11364  isumsplit  11365  mertensabs  11411  clim2prod  11413  clim2divap  11414  prodfap0  11419  prodfdivap  11421  prodmodclem3  11449  prodmodclem2a  11450  fprodseq  11457  fprodf1o  11462  prodssdc  11463  fprodssdc  11464  fprodmul  11465  efcj  11547  nn0seqcvgd  11889  algrp1  11894  alginv  11895  algcvg  11896  algcvga  11899  algfx  11900  eucalgcvga  11906  cnptoprest2  12579  lmss  12585  txcnmpt  12612  txlm  12618  lmcn2  12619  psmetxrge0  12671  metcnp  12851  climcncf  12910  negfcncf  12928  ivthdec  12961  dvcnp2cntop  13002  dvaddxxbr  13004  dvimulf  13009  dvcj  13012  dvfre  13013  nninfall  13522  nninffeq  13533  refeq  13540  trilpolemclim  13548  trilpolemcl  13549  trilpolemisumle  13550  trilpolemeq1  13552  iswomni0  13563