Theorem ffvelrnda 5563

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelrnd.1	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnda	|- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelrnda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.1	. 2 |- ( ph -> F : A --> B )
2		ffvelrn 5561	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
3	1, 2	sylan 281	1 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   -->wf 5127   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  ffvelrnd  5564  f1ocnvdm  5690  foeqcnvco  5699  f1oiso2  5736  offeq  6003  suppssof1  6007  ofco  6008  caofref  6011  caofinvl  6012  caofcom  6013  caofrss  6014  caoftrn  6015  smofvon2dm  6201  smofvon  6204  mapxpen  6750  xpmapenlem  6751  en2eqpr  6809  supisoex  6904  ordiso2  6928  omp1eomlem  6987  ctssdccl  7004  ctssdc  7006  enumctlemm  7007  enomnilem  7018  fodjuomnilemdc  7024  ismkvnex  7037  enmkvlem  7043  enwomnilem  7050  cc3  7100  cauappcvgprlemladdru  7488  cauappcvgprlemladdrl  7489  caucvgprlemladdrl  7510  caucvgprprlemopu  7531  caucvgprprlemexbt  7538  caucvgprprlemexb  7539  caucvgsrlemcl  7621  caucvgsrlemfv  7623  caucvgsrlemcau  7625  caucvgsrlembound  7626  caucvgsrlemoffval  7628  caucvgsrlemofff  7629  caucvgsrlemoffgt1  7631  caucvgsrlemoffres  7632  caucvgsr  7634  axcaucvglemcl  7727  frecuzrdgfunlem  10223  monoord2  10281  seq3f1o  10308  seq3homo  10314  seqfeq3  10316  zfz1isolemiso  10614  seq3coll  10617  resqrexlemfp1  10813  resqrexlemover  10814  resqrexlemdec  10815  resqrexlemlo  10817  resqrexlemcalc1  10818  resqrexlemcalc2  10819  resqrexlemcalc3  10820  resqrexlemgt0  10824  resqrexlemsqa  10828  clim2ser  11138  clim2ser2  11139  isermulc2  11141  iserle  11143  climserle  11146  climrecvg1n  11149  climcvg1nlem  11150  summodclem3  11181  summodclem2a  11182  fsumgcl  11187  fsum3  11188  fsumf1o  11191  isumss  11192  fisumss  11193  fsumcl2lem  11199  fsumadd  11207  isumclim3  11224  isummulc2  11227  isumrecl  11230  isumadd  11232  fsummulc2  11249  iserabs  11276  cvgcmpub  11277  isumshft  11291  isumsplit  11292  mertensabs  11338  clim2prod  11340  clim2divap  11341  prodfap0  11346  prodfdivap  11348  prodmodclem3  11376  prodmodclem2a  11377  fprodseq  11384  efcj  11416  nn0seqcvgd  11758  algrp1  11763  alginv  11764  algcvg  11765  algcvga  11768  algfx  11769  eucalgcvga  11775  cnptoprest2  12448  lmss  12454  txcnmpt  12481  txlm  12487  lmcn2  12488  psmetxrge0  12540  metcnp  12720  climcncf  12779  negfcncf  12797  ivthdec  12830  dvcnp2cntop  12871  dvaddxxbr  12873  dvimulf  12878  dvcj  12881  dvfre  12882  nninfall  13379  nninffeq  13391  refeq  13398  trilpolemclim  13404  trilpolemcl  13405  trilpolemisumle  13406  trilpolemeq1  13408