Theorem fsump1i 11984

Description: Optimized version of fsump1 11971 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1i.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsump1i.2	⊢ 𝑁 = (𝐾 + 1)
fsump1i.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
fsump1i.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1i.5	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
fsump1i.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
fsump1i	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsump1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsump1i.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐾 + 1)
2		fsump1i.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
3	2	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
4		fsump1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrdi 2322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 9807	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	6, 4	eleqtrrdi 2323	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
8	5, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
9	1, 8	eqeltrid 2316	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
10	1	oveq2i 6024	. . . . 5 ⊢ (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝐾 + 1))
11	10	sumeq1i 11914	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴
12		elfzuz 10246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 4	eleqtrrdi 2323	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		fsump1i.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	13, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1	eqeq2i 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 ↔ 𝑘 = (𝐾 + 1))
17		fsump1i.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
18	16, 17	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
19	5, 15, 18	fsump1 11971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
20	11, 19	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
21	2	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆)
22	21	oveq1d 6028	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵) = (𝑆 + 𝐵))
23		fsump1i.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
24	20, 22, 23	3eqtrd 2266	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇)
25	9, 24	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  1c1 8023   + caddc 8025  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233  Σcsu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by: (None)