Theorem fsumshft 11452

Description: Index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev.1	|- ( ph -> K e. ZZ )
fsumrev.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
fsumrev.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
fsumrev.4	|- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fsumshft.5	|- ( j = ( k - K ) -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fsumshft	|- ( ph -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) B )

Distinct variable groups:   A, k   B, j   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, j, k

Allowed substitution hints:   A( j)   B( k)

Proof of Theorem fsumshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumshft.5	. 2 |- ( j = ( k - K ) -> A = B )
2		fsumrev.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		fsumrev.1	. . . 4 |- ( ph -> K e. ZZ )
4	2, 3	zaddcld 9379	. . 3 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
5		fsumrev.3	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
6	5, 3	zaddcld 9379	. . 3 |- ( ph -> ( N + K ) e. ZZ )
7	4, 6	fzfigd 10431	. 2 |- ( ph -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. Fin )
8	3, 2, 5	mptfzshft 11450	. 2 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) |-> ( j - K ) ) : ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
10		elfzelz 10025	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> k e. ZZ )
12	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> K e. ZZ )
13	11, 12	zsubcld 9380	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( k - K ) e. ZZ )
14		oveq1 5882	. . . 4 |- ( j = k -> ( j - K ) = ( k - K ) )
15		eqid 2177	. . . 4 |- ( j e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) |-> ( j - K ) ) = ( j e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) |-> ( j - K ) )
16	14, 15	fvmptg 5593	. . 3 |- ( ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) /\ ( k - K ) e. ZZ ) -> ( ( j e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) |-> ( j - K ) ) ` k ) = ( k - K ) )
17	9, 13, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( ( j e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) |-> ( j - K ) ) ` k ) = ( k - K ) )
18		fsumrev.4	. 2 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
19	1, 7, 8, 17, 18	fsumf1o 11398	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   |-> cmpt 4065   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   + caddc 7814   - cmin 8128   ZZcz 9253   ...cfz 10008   sum_csu 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362

This theorem is referenced by:  fsumshftm  11453  binomlem  11491  cvgratnnlemsumlt  11536