Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsn GIF version

Theorem fsumsplitsn 10858
 Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitsn.ph 𝑘𝜑
fsumsplitsn.kd 𝑘𝐷
fsumsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fsumsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fsumsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fsumsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsn (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsn
StepHypRef Expression
1 fsumsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fsumsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 3508 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 133 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2090 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fsumsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 fsumsplitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
8 unsnfi 6683 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
96, 7, 2, 8syl3anc 1175 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10 fsumsplitsn.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110adantlr 462 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 fsumsplitsn.d . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1312adantl 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
14 fsumsplitsn.dcn . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1514adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2165 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1716adantlr 462 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
18 elun 3142 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝐵}))
19 elsni 3468 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
2019orim2i 714 . . . . . 6 ((𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝐵}) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2118, 20sylbi 120 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2221adantl 272 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2311, 17, 22mpjaodan 748 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
241, 4, 5, 9, 23fsumsplitf 10856 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
25 fsumsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2625, 12sumsnf 10857 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
277, 14, 26syl2anc 404 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2827oveq2d 5682 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
2924, 28eqtrd 2121 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 665   = wceq 1290  Ⅎwnf 1395   ∈ wcel 1439  Ⅎwnfc 2216   ∪ cun 2998   ∩ cin 2999  ∅c0 3287  {csn 3450  (class class class)co 5666  Fincfn 6511  ℂcc 7402   + caddc 7407  Σcsu 10796 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-ihash 10238  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797 This theorem is referenced by:  fsumrelem  10919
 Copyright terms: Public domain W3C validator