Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsn GIF version

Theorem fsumsplitsn 11172
 Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitsn.ph 𝑘𝜑
fsumsplitsn.kd 𝑘𝐷
fsumsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fsumsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fsumsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fsumsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsn (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsn
StepHypRef Expression
1 fsumsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fsumsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 3580 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 133 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2138 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fsumsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 fsumsplitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
8 unsnfi 6800 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
96, 7, 2, 8syl3anc 1216 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10 fsumsplitsn.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110adantlr 468 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 fsumsplitsn.d . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1312adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
14 fsumsplitsn.dcn . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1514adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2214 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1716adantlr 468 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
18 elun 3212 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝐵}))
19 elsni 3540 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
2019orim2i 750 . . . . . 6 ((𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝐵}) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2118, 20sylbi 120 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2221adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2311, 17, 22mpjaodan 787 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
241, 4, 5, 9, 23fsumsplitf 11170 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
25 fsumsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2625, 12sumsnf 11171 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
277, 14, 26syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2827oveq2d 5783 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
2924, 28eqtrd 2170 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331  Ⅎwnf 1436   ∈ wcel 1480  Ⅎwnfc 2266   ∪ cun 3064   ∩ cin 3065  ∅c0 3358  {csn 3522  (class class class)co 5767  Fincfn 6627  ℂcc 7611   + caddc 7616  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by:  fsumrelem  11233  trilpolemeq1  13222
 Copyright terms: Public domain W3C validator