Theorem isumnn0nn 11542

Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumnn0nn.1	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
isumnn0nn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumnn0nn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumnn0nn.4	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumnn0nn	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9598	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 9300	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		isumnn0nn.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumnn0nn.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		isumnn0nn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6	1, 2, 3, 4, 5	isum1p 11541	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴))
7		fveq2 5537	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
8		isumnn0nn.1	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
9	7, 8	eqeq12d 2204	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘0) = 𝐵))
10	3	ralrimiva 2563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
11		0nn0 9226	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13	9, 10, 12	rspcdva 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐵)
14		0p1e1 9068	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
15	14	fveq2i 5540	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
16		nnuz 9599	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eqtr4i 2213	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
18	17	sumeq1i 11412	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
20	13, 19	oveq12d 5918	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
21	6, 20	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  dom cdm 4647  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  ℂcc 7844  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849  ℕcn 8954  ℕ₀cn0 9211  ℤ_≥cuz 9563  seqcseq 10484   ⇝ cli 11327  Σcsu 11402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-frec 6420  df-1o 6445  df-oadd 6449  df-er 6563  df-en 6771  df-dom 6772  df-fin 6773  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-q 9656  df-rp 9690  df-fz 10045  df-fzo 10179  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-ihash 10797  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049  df-clim 11328  df-sumdc 11403

This theorem is referenced by: (None)