Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumnn0nn GIF version

Theorem isumnn0nn 11255
 Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumnn0nn.1 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
isumnn0nn.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumnn0nn.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumnn0nn.4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumnn0nn (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9353 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 9059 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 isumnn0nn.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumnn0nn.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 isumnn0nn.4 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
61, 2, 3, 4, 5isum1p 11254 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴))
7 fveq2 5414 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
8 isumnn0nn.1 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
97, 8eqeq12d 2152 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘0) = 𝐵))
103ralrimiva 2503 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = 𝐴)
11 0nn0 8985 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1211a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
139, 10, 12rspcdva 2789 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐵)
14 0p1e1 8827 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
1514fveq2i 5417 . . . . . 6 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
16 nnuz 9354 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16eqtr4i 2161 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
1817sumeq1i 11125 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴
1918a1i 9 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
2013, 19oveq12d 5785 . 2 (𝜑 → ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
216, 20eqtrd 2170 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  dom cdm 4534  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616  ℕcn 8713  ℕ0cn0 8970  ℤ≥cuz 9319  seqcseq 10211   ⇝ cli 11040  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator