ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumnn0nn GIF version

Theorem isumnn0nn 11542
Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumnn0nn.1 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
isumnn0nn.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumnn0nn.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumnn0nn.4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumnn0nn (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9598 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 9300 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 isumnn0nn.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumnn0nn.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 isumnn0nn.4 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
61, 2, 3, 4, 5isum1p 11541 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴))
7 fveq2 5537 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
8 isumnn0nn.1 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
97, 8eqeq12d 2204 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘0) = 𝐵))
103ralrimiva 2563 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = 𝐴)
11 0nn0 9226 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1211a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
139, 10, 12rspcdva 2861 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐵)
14 0p1e1 9068 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
1514fveq2i 5540 . . . . . 6 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
16 nnuz 9599 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16eqtr4i 2213 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
1817sumeq1i 11412 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴
1918a1i 9 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
2013, 19oveq12d 5918 . 2 (𝜑 → ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
216, 20eqtrd 2222 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  dom cdm 4647  cfv 5238  (class class class)co 5900  cc 7844  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849  cn 8954  0cn0 9211  cuz 9563  seqcseq 10484  cli 11327  Σcsu 11402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-frec 6420  df-1o 6445  df-oadd 6449  df-er 6563  df-en 6771  df-dom 6772  df-fin 6773  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-q 9656  df-rp 9690  df-fz 10045  df-fzo 10179  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-ihash 10797  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049  df-clim 11328  df-sumdc 11403
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator