Theorem isumnn0nn 10948

Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumnn0nn.1	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
isumnn0nn.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumnn0nn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumnn0nn.4	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumnn0nn	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9114	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 8823	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		isumnn0nn.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumnn0nn.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		isumnn0nn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6	1, 2, 3, 4, 5	isum1p 10947	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴))
7		fveq2 5318	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
8		isumnn0nn.1	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐵)
9	7, 8	eqeq12d 2103	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘0) = 𝐵))
10	3	ralrimiva 2447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
11		0nn0 8749	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13	9, 10, 12	rspcdva 2728	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐵)
14		0p1e1 8597	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
15	14	fveq2i 5321	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
16		nnuz 9115	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eqtr4i 2112	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
18	17	sumeq1i 10813	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
20	13, 19	oveq12d 5684	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))
21	6, 20	eqtrd 2121	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  dom cdm 4452  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414  ℕcn 8483  ℕ₀cn0 8734  ℤ_≥cuz 9080  seqcseq 9913   ⇝ cli 10727  Σcsu 10803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804

This theorem is referenced by: (None)