Theorem modqsubdir 10762

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqsubdir	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Proof of Theorem modqsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		simprl 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℚ)
3		simprr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
4	1, 2, 3	modqcld 10697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ)
5		qre 9963	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
7		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℚ)
8	7, 2, 3	modqcld 10697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ)
9		qre 9963	. . . 4 ⊢ ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
11	6, 10	subge0d 8814	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ (𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
12		qsubcl 9976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
14	3	gt0ne0d 8791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
15		qdivcl 9981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℚ)
16	1, 2, 14, 15	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℚ)
17	16	flqcld 10644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ)
18		qdivcl 9981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
19	7, 2, 14, 18	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
20	19	flqcld 10644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
21	17, 20	zsubcld 9711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ)
22		modqcyc2 10729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ ∧ ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
23	13, 21, 2, 3, 22	syl22anc 1275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
24		qcn 9972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	1, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		qcn 9972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
27	7, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		zq 9964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ)
29	17, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ)
30		qmulcl 9975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ)
31	2, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ)
32		qcn 9972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
34		zq 9964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
35	20, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
36		qmulcl 9975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
37	2, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
38		qcn 9972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
40	25, 27, 33, 39	sub4d 8638	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
41		qcn 9972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
42	2, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43	17	zcnd 9707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℂ)
44	20	zcnd 9707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	subdid 8692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
46	45	oveq2d 6068	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − 𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
47		modqval 10693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
49		modqval 10693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
50	7, 2, 3, 49	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
51	48, 50	oveq12d 6070	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
53	52	oveq1d 6067	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
54	23, 53	eqtr3d 2269	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
55	54	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
56		qsubcl 9976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
57	4, 8, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
58	57	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
59	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℚ)
60		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
61	6, 10	resubcld 8659	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ)
62		qre 9963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
63	2, 62	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
64		modqge0 10701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
65	7, 2, 3, 64	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
66	6, 10	subge02d 8816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ (𝐵 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
67	65, 66	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶))
68		modqlt 10702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
69	1, 2, 3, 68	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
70	61, 6, 63, 67, 69	lelttrd 8403	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
71	70	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
72		modqid 10718	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
73	58, 59, 60, 71, 72	syl22anc 1275	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
74	55, 73	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
75		modqge0 10701	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
76	13, 2, 3, 75	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
77	76	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
78		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
79	77, 78	breqtrd 4137	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
80	74, 79	impbida 600	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))
81	11, 80	bitr3d 190	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  ℝcr 8131  0cc0 8132   · cmul 8137   < clt 8313   ≤ cle 8314   − cmin 8449   / cdiv 8951  ℤcz 9582  ℚcq 9957  ⌊cfl 10635   mod cmo 10691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-q 9958  df-rp 9993  df-fl 10637  df-mod 10692

This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10763  4sqlem12  13108