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Theorem modqsubdir 10173
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqsubdir (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Proof of Theorem modqsubdir
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2 simprl 520 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℚ)
3 simprr 521 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
41, 2, 3modqcld 10108 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ)
5 qre 9424 . . . 4 ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
64, 5syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
7 simplr 519 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℚ)
87, 2, 3modqcld 10108 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ)
9 qre 9424 . . . 4 ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
108, 9syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
116, 10subge0d 8304 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ (𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
12 qsubcl 9437 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴𝐵) ∈ ℚ)
1312adantr 274 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵) ∈ ℚ)
143gt0ne0d 8281 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
15 qdivcl 9442 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℚ)
161, 2, 14, 15syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℚ)
1716flqcld 10057 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ)
18 qdivcl 9442 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
197, 2, 14, 18syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
2019flqcld 10057 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
2117, 20zsubcld 9185 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ)
22 modqcyc2 10140 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ∈ ℚ ∧ ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴𝐵) mod 𝐶))
2313, 21, 2, 3, 22syl22anc 1217 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴𝐵) mod 𝐶))
24 qcn 9433 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
251, 24syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26 qcn 9433 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
277, 26syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 zq 9425 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ)
2917, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ)
30 qmulcl 9436 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ)
312, 29, 30syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ)
32 qcn 9433 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
34 zq 9425 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
3520, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
36 qmulcl 9436 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
372, 35, 36syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
38 qcn 9433 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
3937, 38syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
4025, 27, 33, 39sub4d 8129 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
41 qcn 9433 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
422, 41syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4317zcnd 9181 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℂ)
4420zcnd 9181 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
4542, 43, 44subdid 8183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
4645oveq2d 5790 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
47 modqval 10104 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
481, 2, 3, 47syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
49 modqval 10104 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
507, 2, 3, 49syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
5148, 50oveq12d 5792 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
5240, 46, 513eqtr4d 2182 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
5352oveq1d 5789 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
5423, 53eqtr3d 2174 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
5554adantr 274 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
56 qsubcl 9437 . . . . . . 7 (((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
574, 8, 56syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
5857adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
592adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℚ)
60 simpr 109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
616, 10resubcld 8150 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ)
62 qre 9424 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
632, 62syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
64 modqge0 10112 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
657, 2, 3, 64syl3anc 1216 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
666, 10subge02d 8306 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ (𝐵 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
6765, 66mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶))
68 modqlt 10113 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
691, 2, 3, 68syl3anc 1216 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
7061, 6, 63, 67, 69lelttrd 7894 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
7170adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
72 modqid 10129 . . . . 5 (((((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
7358, 59, 60, 71, 72syl22anc 1217 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
7455, 73eqtrd 2172 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
75 modqge0 10112 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ ((𝐴𝐵) mod 𝐶))
7613, 2, 3, 75syl3anc 1216 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ ((𝐴𝐵) mod 𝐶))
7776adantr 274 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴𝐵) mod 𝐶))
78 simpr 109 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
7977, 78breqtrd 3954 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
8074, 79impbida 585 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))
8111, 80bitr3d 189 1 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627   · cmul 7632   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940   / cdiv 8439  cz 9061  cq 9418  cfl 10048   mod cmo 10102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-q 9419  df-rp 9449  df-fl 10050  df-mod 10103
This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10174
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