Theorem modqsubdir 10813

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqsubdir	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Proof of Theorem modqsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		simprl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℚ)
3		simprr 537	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
4	1, 2, 3	modqcld 10748	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ)
5		qre 10008	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
7		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℚ)
8	7, 2, 3	modqcld 10748	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ)
9		qre 10008	. . . 4 ⊢ ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
11	6, 10	subge0d 8857	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ (𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
12		qsubcl 10021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
14	3	gt0ne0d 8834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
15		qdivcl 10026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℚ)
16	1, 2, 14, 15	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℚ)
17	16	flqcld 10695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ)
18		qdivcl 10026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
19	7, 2, 14, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℚ)
20	19	flqcld 10695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ)
21	17, 20	zsubcld 9756	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ)
22		modqcyc2 10780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ ∧ ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
23	13, 21, 2, 3, 22	syl22anc 1279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
24		qcn 10017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	1, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		qcn 10017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
27	7, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		zq 10009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ)
29	17, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ)
30		qmulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℚ) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ)
31	2, 29, 30	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ)
32		qcn 10017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℚ → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) ∈ ℂ)
34		zq 10009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
35	20, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ)
36		qmulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℚ) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
37	2, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ)
38		qcn 10017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℚ → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))) ∈ ℂ)
40	25, 27, 33, 39	sub4d 8680	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
41		qcn 10017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℂ)
42	2, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43	17	zcnd 9752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐶)) ∈ ℂ)
44	20	zcnd 9752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (⌊‘(𝐵 / 𝐶)) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	subdid 8735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))) = ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
46	45	oveq2d 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 − 𝐵) − ((𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶))) − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
47		modqval 10744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))))
49		modqval 10744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
50	7, 2, 3, 49	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 mod 𝐶) = (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶)))))
51	48, 50	oveq12d 6097	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐴 − (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐶)))) − (𝐵 − (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))))
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
53	52	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐶)) − (⌊‘(𝐵 / 𝐶))))) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
54	23, 53	eqtr3d 2273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
55	54	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶))
56		qsubcl 10021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℚ) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
57	4, 8, 56	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
58	57	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ)
59	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℚ)
60		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
61	6, 10	resubcld 8702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℝ)
62		qre 10008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
63	2, 62	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
64		modqge0 10752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
65	7, 2, 3, 64	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ (𝐵 mod 𝐶))
66	6, 10	subge02d 8859	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ (𝐵 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶)))
67	65, 66	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ≤ (𝐴 mod 𝐶))
68		modqlt 10753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
69	1, 2, 3, 68	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 mod 𝐶) < 𝐶)
70	61, 6, 63, 67, 69	lelttrd 8445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
71	70	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)
72		modqid 10769	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) < 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
73	58, 59, 60, 71, 72	syl22anc 1279	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → (((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
74	55, 73	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
75		modqge0 10752	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
76	13, 2, 3, 75	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
77	76	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶))
78		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
79	77, 78	breqtrd 4154	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)))
80	74, 79	impbida 604	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → (0 ≤ ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))
81	11, 80	bitr3d 190	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝐶 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐵 mod 𝐶) ≤ (𝐴 mod 𝐶) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 mod 𝐶) − (𝐵 mod 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491   / cdiv 8996  ℤcz 9627  ℚcq 10002  ⌊cfl 10686   mod cmo 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-q 10003  df-rp 10038  df-fl 10688  df-mod 10743

This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  10814  4sqlem12  13164