Theorem mul01d 8472

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 8468	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932   · cmul 7937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-setind 4589  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-sub 8252

This theorem is referenced by:  mulap0r  8695  diveqap0  8762  div0ap  8782  mulle0r  9024  un0mulcl  9336  modqid  10501  addmodlteq  10550  expmul  10736  bcval5  10915  fsummulc2  11803  geolim  11866  fprodeq0  11972  0dvds  12166  gcdaddm  12349  bezoutlema  12364  bezoutlemb  12365  lcmgcd  12444  mulgcddvds  12460  cncongr2  12470  prmdiv  12601  pcaddlem  12706  qexpz  12719  mulgnn0ass  13538  dvcnp2cntop  15215  plymullem1  15264  dvply1  15281  sin0pilem1  15297  sin0pilem2  15298  sinmpi  15331  cosmpi  15332  sinppi  15333  cosppi  15334  lgsdilem  15548  lgsdir2  15554  lgsdirnn0  15568  lgsdinn0  15569  lgsquad3  15605  trilpolemclim  16049  trilpolemisumle  16051  trilpolemeq1  16053  nconstwlpolem0  16076