Theorem mul01d 8572

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 8568	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032   · cmul 8037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352

This theorem is referenced by:  mulap0r  8795  diveqap0  8862  div0ap  8882  mulle0r  9124  un0mulcl  9436  modqid  10612  addmodlteq  10661  expmul  10847  bcval5  11026  fsummulc2  12011  geolim  12074  fprodeq0  12180  0dvds  12374  gcdaddm  12557  bezoutlema  12572  bezoutlemb  12573  lcmgcd  12652  mulgcddvds  12668  cncongr2  12678  prmdiv  12809  pcaddlem  12914  qexpz  12927  mulgnn0ass  13747  dvcnp2cntop  15426  plymullem1  15475  dvply1  15492  sin0pilem1  15508  sin0pilem2  15509  sinmpi  15542  cosmpi  15543  sinppi  15544  cosppi  15545  lgsdilem  15759  lgsdir2  15765  lgsdirnn0  15779  lgsdinn0  15780  lgsquad3  15816  trilpolemclim  16661  trilpolemisumle  16663  trilpolemeq1  16665  nconstwlpolem0  16688