Theorem mul01d 8352

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 8348	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  0cc0 7813   · cmul 7818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132

This theorem is referenced by:  mulap0r  8574  diveqap0  8641  div0ap  8661  mulle0r  8903  un0mulcl  9212  modqid  10351  addmodlteq  10400  expmul  10567  bcval5  10745  fsummulc2  11458  geolim  11521  fprodeq0  11627  0dvds  11820  gcdaddm  11987  bezoutlema  12002  bezoutlemb  12003  lcmgcd  12080  mulgcddvds  12096  cncongr2  12106  prmdiv  12237  pcaddlem  12340  qexpz  12352  mulgnn0ass  13024  dvcnp2cntop  14202  sin0pilem1  14241  sin0pilem2  14242  sinmpi  14275  cosmpi  14276  sinppi  14277  cosppi  14278  lgsdilem  14467  lgsdir2  14473  lgsdirnn0  14487  lgsdinn0  14488  trilpolemclim  14823  trilpolemisumle  14825  trilpolemeq1  14827  nconstwlpolem0  14849