Theorem mul01d 8671

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul01d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul01d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul01d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul01 8667	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132   · cmul 8137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sub 8451

This theorem is referenced by:  mulap0r  8894  diveqap0  8961  div0ap  8981  mulle0r  9223  un0mulcl  9535  modqid  10718  addmodlteq  10767  expmul  10953  bcval5  11133  fsummulc2  12142  geolim  12205  fprodeq0  12311  0dvds  12505  gcdaddm  12688  bezoutlema  12703  bezoutlemb  12704  lcmgcd  12783  mulgcddvds  12799  cncongr2  12809  prmdiv  12940  pcaddlem  13045  qexpz  13058  mulgnn0ass  13896  dvcnp2cntop  15613  plymullem1  15662  dvply1  15679  sin0pilem1  15695  sin0pilem2  15696  sinmpi  15729  cosmpi  15730  sinppi  15731  cosppi  15732  lgsdilem  15949  lgsdir2  15955  lgsdirnn0  15969  lgsdinn0  15970  lgsquad3  16006  trilpolemclim  16869  trilpolemisumle  16871  trilpolemeq1  16873  nconstwlpolem0  16898