Theorem nconstwlpolem0 16975

Description: Lemma for nconstwlpo 16978. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	|- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
nconstwlpolem0.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
nconstwlpolem0.0	|- ( ph -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem0	|- ( ph -> A = 0 )

Distinct variable groups:   x, G   ph, i   x, i

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, i)   G( i)

Proof of Theorem nconstwlpolem0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolem0.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
2		fveqeq2 5684	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( G ` x ) = 0 <-> ( G ` i ) = 0 ) )
3		nconstwlpolem0.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
6	2, 4, 5	rspcdva 2928	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) = 0 )
7	6	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) )
8		2nn 9416	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. NN )
10	5	nnnn0d 9570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
11	9, 10	nnexpcld 11082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. NN )
12	11	nnrecred 9301	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
13	12	recnd 8318	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
14	13	mul01d 8683	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) = 0 )
15	7, 14	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = 0 )
16	15	sumeq2dv 12078	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = sum_ i e. NN 0 )
17	1, 16	eqtrid 2279	. 2 |- ( ph -> A = sum_ i e. NN 0 )
18		1z 9620	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
19		nnuz 9908	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	19	eqimssi 3298	. . . . 5 |- NN C_ ( ZZ>= ` 1 )
21		elnnuz 9909	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
23	22	orcd 741	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
24		df-dc 843	. . . . . . 7 |- (DECID j e. NN <-> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> DECID j e. NN )
26	25	rgen 2597	. . . . 5 |- A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN
27	18, 20, 26	3pm3.2i 1202	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN )
28	27	orci 739	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN ) \/ NN e. Fin )
29		isumz 12100	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN ) \/ NN e. Fin ) -> sum_ i e. NN 0 = 0 )
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 |- sum_ i e. NN 0 = 0
31	17, 30	eqtrdi 2283	1 |- ( ph -> A = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   {cpr 3695   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ^cexp 10924   sum_csu 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  16977