Theorem nconstwlpolem0 16603

Description: Lemma for nconstwlpo 16606. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	|- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
nconstwlpolem0.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
nconstwlpolem0.0	|- ( ph -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem0	|- ( ph -> A = 0 )

Distinct variable groups:   x, G   ph, i   x, i

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, i)   G( i)

Proof of Theorem nconstwlpolem0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolem0.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
2		fveqeq2 5644	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( G ` x ) = 0 <-> ( G ` i ) = 0 ) )
3		nconstwlpolem0.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
6	2, 4, 5	rspcdva 2913	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) = 0 )
7	6	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) )
8		2nn 9295	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. NN )
10	5	nnnn0d 9445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
11	9, 10	nnexpcld 10947	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. NN )
12	11	nnrecred 9180	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
13	12	recnd 8198	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
14	13	mul01d 8562	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) = 0 )
15	7, 14	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = 0 )
16	15	sumeq2dv 11919	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = sum_ i e. NN 0 )
17	1, 16	eqtrid 2274	. 2 |- ( ph -> A = sum_ i e. NN 0 )
18		1z 9495	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
19		nnuz 9782	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	19	eqimssi 3281	. . . . 5 |- NN C_ ( ZZ>= ` 1 )
21		elnnuz 9783	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
23	22	orcd 738	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
24		df-dc 840	. . . . . . 7 |- (DECID j e. NN <-> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> DECID j e. NN )
26	25	rgen 2583	. . . . 5 |- A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN
27	18, 20, 26	3pm3.2i 1199	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN )
28	27	orci 736	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN ) \/ NN e. Fin )
29		isumz 11940	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN ) \/ NN e. Fin ) -> sum_ i e. NN 0 = 0 )
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 |- sum_ i e. NN 0 = 0
31	17, 30	eqtrdi 2278	1 |- ( ph -> A = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3198   {cpr 3668   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   0cc0 8022   1c1 8023   x. cmul 8027   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ^cexp 10790   sum_csu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  16605