Theorem nconstwlpolem0 16002

Description: Lemma for nconstwlpo 16005. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	|- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
nconstwlpolem0.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
nconstwlpolem0.0	|- ( ph -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem0	|- ( ph -> A = 0 )

Distinct variable groups:   x, G   ph, i   x, i

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, i)   G( i)

Proof of Theorem nconstwlpolem0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolem0.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
2		fveqeq2 5585	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( G ` x ) = 0 <-> ( G ` i ) = 0 ) )
3		nconstwlpolem0.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
6	2, 4, 5	rspcdva 2882	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) = 0 )
7	6	oveq2d 5960	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) )
8		2nn 9198	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. NN )
10	5	nnnn0d 9348	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
11	9, 10	nnexpcld 10840	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. NN )
12	11	nnrecred 9083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
13	12	recnd 8101	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
14	13	mul01d 8465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) = 0 )
15	7, 14	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = 0 )
16	15	sumeq2dv 11679	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = sum_ i e. NN 0 )
17	1, 16	eqtrid 2250	. 2 |- ( ph -> A = sum_ i e. NN 0 )
18		1z 9398	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
19		nnuz 9684	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	19	eqimssi 3249	. . . . 5 |- NN C_ ( ZZ>= ` 1 )
21		elnnuz 9685	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
23	22	orcd 735	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
24		df-dc 837	. . . . . . 7 |- (DECID j e. NN <-> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> DECID j e. NN )
26	25	rgen 2559	. . . . 5 |- A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN
27	18, 20, 26	3pm3.2i 1178	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN )
28	27	orci 733	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN ) \/ NN e. Fin )
29		isumz 11700	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN ) \/ NN e. Fin ) -> sum_ i e. NN 0 = 0 )
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 |- sum_ i e. NN 0 = 0
31	17, 30	eqtrdi 2254	1 |- ( ph -> A = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   {cpr 3634   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Fincfn 6827   0cc0 7925   1c1 7926   x. cmul 7930   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ^cexp 10683   sum_csu 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-sumdc 11665

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  16004