Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nconstwlpolem0 Unicode version

Theorem nconstwlpolem0 14692
Description: Lemma for nconstwlpo 14695. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> { 0 ,  1 } )
nconstwlpolem0.a  |-  A  = 
sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( G `  i )
)
nconstwlpolem0.0  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN  ( G `  x )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolem0  |-  ( ph  ->  A  =  0 )
Distinct variable groups:    x, G    ph, i    x, i
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, i)    G( i)

Proof of Theorem nconstwlpolem0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolem0.a . . 3  |-  A  = 
sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( G `  i )
)
2 fveqeq2 5524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( G `  x
)  =  0  <->  ( G `  i )  =  0 ) )
3 nconstwlpolem0.0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN  ( G `  x )  =  0 )
43adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  A. x  e.  NN  ( G `  x )  =  0 )
5 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
62, 4, 5rspcdva 2846 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( G `
 i )  =  0 )
76oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( G `  i ) )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  0 ) )
8 2nn 9078 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
98a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  2  e.  NN )
105nnnn0d 9227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e. 
NN0 )
119, 10nnexpcld 10672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( 2 ^ i )  e.  NN )
1211nnrecred 8964 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  e.  RR )
1312recnd 7984 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  e.  CC )
1413mul01d 8348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  0 )  =  0 )
157, 14eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( G `  i ) )  =  0 )
1615sumeq2dv 11371 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( G `  i )
)  =  sum_ i  e.  NN  0 )
171, 16eqtrid 2222 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  sum_ i  e.  NN  0 )
18 1z 9277 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
19 nnuz 9561 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2019eqimssi 3211 . . . . 5  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
21 elnnuz 9562 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2221biimpri 133 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
2322orcd 733 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( j  e.  NN  \/  -.  j  e.  NN ) )
24 df-dc 835 . . . . . . 7  |-  (DECID  j  e.  NN  <->  ( j  e.  NN  \/  -.  j  e.  NN ) )
2523, 24sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  -> DECID  j  e.  NN )
2625rgen 2530 . . . . 5  |-  A. j  e.  ( ZZ>= `  1 )DECID  j  e.  NN
2718, 20, 263pm3.2i 1175 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  1 )DECID  j  e.  NN )
2827orci 731 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  NN  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  1 )DECID  j  e.  NN )  \/  NN  e.  Fin )
29 isumz 11392 . . 3  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= ` 
1 )DECID  j  e.  NN )  \/  NN  e.  Fin )  ->  sum_ i  e.  NN  0  =  0 )
3028, 29ax-mp 5 . 2  |-  sum_ i  e.  NN  0  =  0
3117, 30eqtrdi 2226 1  |-  ( ph  ->  A  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    C_ wss 3129   {cpr 3593   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Fincfn 6739   0cc0 7810   1c1 7811    x. cmul 7815    / cdiv 8627   NNcn 8917   2c2 8968   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526   ^cexp 10516   sum_csu 11356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357
This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  14694
  Copyright terms: Public domain W3C validator