Theorem nconstwlpolem0 14692

Description: Lemma for nconstwlpo 14695. If all the terms of the series are zero, so is their sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	|- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
nconstwlpolem0.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
nconstwlpolem0.0	|- ( ph -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolem0	|- ( ph -> A = 0 )

Distinct variable groups:   x, G   ph, i   x, i

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, i)   G( i)

Proof of Theorem nconstwlpolem0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolem0.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
2		fveqeq2 5524	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( G ` x ) = 0 <-> ( G ` i ) = 0 ) )
3		nconstwlpolem0.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> A. x e. NN ( G ` x ) = 0 )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
6	2, 4, 5	rspcdva 2846	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) = 0 )
7	6	oveq2d 5890	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) )
8		2nn 9078	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. NN )
10	5	nnnn0d 9227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
11	9, 10	nnexpcld 10672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. NN )
12	11	nnrecred 8964	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
13	12	recnd 7984	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
14	13	mul01d 8348	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) = 0 )
15	7, 14	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = 0 )
16	15	sumeq2dv 11371	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = sum_ i e. NN 0 )
17	1, 16	eqtrid 2222	. 2 |- ( ph -> A = sum_ i e. NN 0 )
18		1z 9277	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
19		nnuz 9561	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	19	eqimssi 3211	. . . . 5 |- NN C_ ( ZZ>= ` 1 )
21		elnnuz 9562	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
23	22	orcd 733	. . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
24		df-dc 835	. . . . . . 7 |- (DECID j e. NN <-> ( j e. NN \/ -. j e. NN ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> DECID j e. NN )
26	25	rgen 2530	. . . . 5 |- A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN
27	18, 20, 26	3pm3.2i 1175	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN )
28	27	orci 731	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN ) \/ NN e. Fin )
29		isumz 11392	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` 1 )DECID j e. NN ) \/ NN e. Fin ) -> sum_ i e. NN 0 = 0 )
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 |- sum_ i e. NN 0 = 0
31	17, 30	eqtrdi 2226	1 |- ( ph -> A = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3129   {cpr 3593   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Fincfn 6739   0cc0 7810   1c1 7811   x. cmul 7815   / cdiv 8627   NNcn 8917   2c2 8968   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526   ^cexp 10516   sum_csu 11356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  14694