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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12037. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1028 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9202 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9266 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 422 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 826 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2337 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 752 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 133 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9196 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8291 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1008 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9196 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8291 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1009 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2201 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5857 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5850 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5857 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5850 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5857 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2180 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5850 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5850 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2180 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 989 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 11909 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 990 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 991 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11739 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1228 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9312 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9232 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1007 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11729 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 213 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9319 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9314 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1007 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9314 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8559 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1270 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2177 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 189 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 11899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 8885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 11910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 972 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 11904 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 8871 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 4010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 3986 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2583 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9244 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1006 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9244 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 1005 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11739 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1228 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 168 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 114 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 706 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 114 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 698 DECID wdc 824
w3a 968
wceq 1343
wcel 2136
wne 2336
wrex 2445
class class class wbr 3982 (class class class)co 5842
cc 7751
cc0 7753
cmul 7758
cmin 8069
# cap 8479 cdiv 8568 cn 8857 cn0 9114 cz 9191 cmo 10257 cdvds 11727 cgcd 11875 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-frec 6359 df-sup 6949 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-fl 10205 df-mod 10258 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-dvds 11728 df-gcd 11876 |
| This theorem is referenced by: cncongr 12037 |
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