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Theorem cncongr2 11681
Description: The other direction of the bicondition in cncongr 11682. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )

Proof of Theorem cncongr2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1005 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  C  e.  ZZ )
2 0z 9016 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
3 zdceq 9077 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  C  =  0 )
42, 3mpan2 419 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  -> DECID  C  =  0
)
5 exmiddc 804 . . . . . 6  |-  (DECID  C  =  0  ->  ( C  =  0  \/  -.  C  =  0 ) )
64, 5syl 14 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C  =  0  \/  -.  C  =  0
) )
7 df-ne 2284 . . . . . 6  |-  ( C  =/=  0  <->  -.  C  =  0 )
87orbi2i 734 . . . . 5  |-  ( ( C  =  0  \/  C  =/=  0 )  <-> 
( C  =  0  \/  -.  C  =  0 ) )
96, 8sylibr 133 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C  =  0  \/  C  =/=  0 ) )
10 zcn 9010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
1110mul01d 8119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
12113ad2ant1 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
13 zcn 9010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
1413mul01d 8119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
15143ad2ant2 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
1612, 15eqtr4d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( B  x.  0 ) )
1716adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( B  x.  0 ) )
1817oveq1d 5755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  0 )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N ) )
1918adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  0 )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N ) )
20 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  0  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  0 ) )
2120oveq1d 5755 . . . . . . 7  |-  ( C  =  0  ->  (
( A  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  0 )  mod 
N ) )
22 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  0  ->  ( B  x.  C )  =  ( B  x.  0 ) )
2322oveq1d 5755 . . . . . . 7  |-  ( C  =  0  ->  (
( B  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod 
N ) )
2421, 23eqeq12d 2130 . . . . . 6  |-  ( C  =  0  ->  (
( ( A  x.  C )  mod  N
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  N )  <->  ( ( A  x.  0 )  mod  N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N
) ) )
2519, 24syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( C  =  0  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
26 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
27 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  ( B  mod  M )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
2826, 27eqeq12d 2130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
2928adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
3029adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
31 simpl 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
32 simp3 966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
33 divgcdnnr 11560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
3431, 32, 33syl2anr 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  NN )
35 simpl1 967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
36 simpl2 968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
37 moddvds 11398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )
) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )
) )
3934nnzd 9123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  ZZ )
40 zsubcl 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
41403adant3 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
4241adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
43 divides 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) ) 
||  ( A  -  B )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B ) ) )
4439, 42, 43syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
4530, 38, 443bitrd 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
46 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
4739adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
4847adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
4946, 48zmulcld 9130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  e.  ZZ )
5049zcnd 9125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  e.  CC )
5140zcnd 9125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
52513adant3 984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
5352ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
5432zcnd 9125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
5554ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  C  =/=  0 )
5756adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  =/=  0 )
5832ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
59 0zd 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
60 zapne 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( C #  0  <->  C  =/=  0 ) )
6158, 59, 60syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C #  0  <->  C  =/=  0
) )
6257, 61mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C #  0 )
6350, 53, 55, 62mulcanap2d 8383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  -  B
)  x.  C )  <-> 
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
64 zcn 9010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
65 subdir 8112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
6610, 13, 64, 65syl3an 1241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
6766ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
) )
6867eqeq2d 2127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  -  B
)  x.  C )  <-> 
( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) ) )
6963, 68bitr3d 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  <->  ( ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
70 nnz 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
7170adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
72 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
7372zcnd 9125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
7473adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
7554adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  C  e.  CC )
76 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
7776nnzd 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
7832, 77anim12i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
79 gcdcl 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N
)  e.  NN0 )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
8180nn0cnd 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
82 nnne0 8705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8382neneqd 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
8483adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  -.  N  =  0 )
8584adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  -.  N  =  0 )
8685intnand 899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) )
87 gcdeq0 11561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N )  =  0  <->  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
8878, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N )  =  0  <->  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
8988necon3abid 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N )  =/=  0  <->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
9086, 89mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  =/=  0
)
9180nn0zd 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  ZZ )
92 0zd 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  0  e.  ZZ )
93 zapne 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( C  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
9491, 92, 93syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <-> 
( C  gcd  N
)  =/=  0 ) )
9590, 94mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N ) #  0 )
9674, 75, 81, 95divassapd 8546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  =  ( k  x.  ( C  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
9772adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
9870, 82jca 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
9998adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
10032, 99anim12i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) ) )
101 3anass 949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  <->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) ) )
102100, 101sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
103 divgcdz 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( C  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
104102, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
10597, 104zmulcld 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( k  x.  ( C  /  ( C  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )
10696, 105eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
107 dvdsmul1 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
10871, 106, 107syl2an2 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  ||  ( N  x.  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
10976nncnd 8691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
110109adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
111 divmulasscomap 8416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( C  gcd  N )  e.  CC  /\  ( C  gcd  N ) #  0 ) )  -> 
( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
11274, 110, 75, 81, 95, 111syl32anc 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
113108, 112breqtrrd 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) )
114113exp32 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N 
||  ( ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  x.  C ) ) ) )
115114adantrd 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( k  e.  ZZ  ->  N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) ) )
116115imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) )
117116adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) )
118117imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) )
119 breq2 3901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  ( N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  <-> 
N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
120118, 119syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
12169, 120sylbid 149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
122121rexlimdva 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
12331adantl 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
124 zmulcl 9058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C
)  e.  ZZ )
1251243adant2 983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
126125adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
127 zmulcl 9058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
1281273adant1 982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
129128adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
130 moddvds 11398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
131123, 126, 129, 130syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
132131adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( (
( A  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
133122, 132sylibrd 168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
134133ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  =/=  0  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) ) )
135134com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B )  -> 
( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  N ) ) ) )
13645, 135sylbid 149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
) ) ) )
137136imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
138137com12 30 . . . . 5  |-  ( C  =/=  0  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
13925, 138jaoi 688 . . . 4  |-  ( ( C  =  0  \/  C  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
1409, 139syl 14 . . 3  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
1411, 140mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
)
142141ex 114 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   E.wrex 2392   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584    x. cmul 7589    - cmin 7897   # cap 8306    / cdiv 8392   NNcn 8677   NN0cn0 8928   ZZcz 9005    mod cmo 10035    || cdvds 11389    gcd cgcd 11531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390  df-gcd 11532
This theorem is referenced by:  cncongr  11682
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