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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12246. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1040 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9331 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9395 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 425 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 837 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2365 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 763 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 134 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9325 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8414 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9325 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8414 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2229 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5934 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5927 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5934 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5927 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5934 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2208 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | imbitrrid 156 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5927 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5927 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2208 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 1001 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 12116 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 1002 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 1003 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11945 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9441 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9361 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11935 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9448 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9443 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9443 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8683 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1291 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2205 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 190 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 12106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 9012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 12117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9440 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 12111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 8998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 4058 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 4034 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 155 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2611 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1018 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 1017 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11945 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 169 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 115 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 717 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 115 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 DECID wdc 835
w3a 980
wceq 1364
wcel 2164
wne 2364
wrex 2473
class class class wbr 4030 (class class class)co 5919
cc 7872
cc0 7874
cmul 7879
cmin 8192
# cap 8602 cdiv 8693 cn 8984 cn0 9243 cz 9320 cmo 10396 cdvds 11933 cgcd 12082 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-sup 7045 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-fl 10342 df-mod 10397 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-dvds 11934 df-gcd 12083 |
| This theorem is referenced by: cncongr 12246 |
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