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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12273. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1040 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9337 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9401 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 425 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 837 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2368 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 763 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 134 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9331 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8419 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9331 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8419 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2232 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5937 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5930 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5937 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5930 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5937 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2211 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | imbitrrid 156 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5930 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5930 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2211 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 1001 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 12143 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 1002 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 1003 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11964 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9447 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9367 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11954 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9400 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8689 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1291 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2208 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 190 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 12133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 9018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 12144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9400 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 12138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 9004 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 4061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 4037 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 155 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2614 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9379 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1018 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9379 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 1017 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11964 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 169 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 115 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 717 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 115 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 DECID wdc 835
w3a 980
wceq 1364
wcel 2167
wne 2367
wrex 2476
class class class wbr 4033 (class class class)co 5922
cc 7877
cc0 7879
cmul 7884
cmin 8197
# cap 8608 cdiv 8699 cn 8990 cn0 9249 cz 9326 cmo 10414 cdvds 11952 cgcd 12120 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121 |
| This theorem is referenced by: cncongr 12273 |
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