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Theorem cncongr2 12071
Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12072. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )

Proof of Theorem cncongr2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1038 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  C  e.  ZZ )
2 0z 9237 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
3 zdceq 9301 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  C  =  0 )
42, 3mpan2 425 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  -> DECID  C  =  0
)
5 exmiddc 836 . . . . . 6  |-  (DECID  C  =  0  ->  ( C  =  0  \/  -.  C  =  0 ) )
64, 5syl 14 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C  =  0  \/  -.  C  =  0
) )
7 df-ne 2346 . . . . . 6  |-  ( C  =/=  0  <->  -.  C  =  0 )
87orbi2i 762 . . . . 5  |-  ( ( C  =  0  \/  C  =/=  0 )  <-> 
( C  =  0  \/  -.  C  =  0 ) )
96, 8sylibr 134 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C  =  0  \/  C  =/=  0 ) )
10 zcn 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
1110mul01d 8324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
12113ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
13 zcn 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
1413mul01d 8324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
15143ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
1612, 15eqtr4d 2211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( B  x.  0 ) )
1716adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( B  x.  0 ) )
1817oveq1d 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  0 )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N ) )
1918adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  0 )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N ) )
20 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  0  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  0 ) )
2120oveq1d 5880 . . . . . . 7  |-  ( C  =  0  ->  (
( A  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  0 )  mod 
N ) )
22 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  0  ->  ( B  x.  C )  =  ( B  x.  0 ) )
2322oveq1d 5880 . . . . . . 7  |-  ( C  =  0  ->  (
( B  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod 
N ) )
2421, 23eqeq12d 2190 . . . . . 6  |-  ( C  =  0  ->  (
( ( A  x.  C )  mod  N
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  N )  <->  ( ( A  x.  0 )  mod  N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N
) ) )
2519, 24syl5ibr 156 . . . . 5  |-  ( C  =  0  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
26 oveq2 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
27 oveq2 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  ( B  mod  M )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
2826, 27eqeq12d 2190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
2928adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
3029adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
31 simpl 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
32 simp3 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
33 divgcdnnr 11944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
3431, 32, 33syl2anr 290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  NN )
35 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
36 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
37 moddvds 11774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )
) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )
) )
3934nnzd 9347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  ZZ )
40 zsubcl 9267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
41403adant3 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
4241adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
43 divides 11764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) ) 
||  ( A  -  B )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B ) ) )
4439, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
4530, 38, 443bitrd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
46 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
4739adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
4946, 48zmulcld 9354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  e.  ZZ )
5049zcnd 9349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  e.  CC )
5140zcnd 9349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
52513adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
5352ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
5432zcnd 9349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
5554ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
56 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  C  =/=  0 )
5756adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  =/=  0 )
5832ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
59 0zd 9238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
60 zapne 9300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( C #  0  <->  C  =/=  0 ) )
6158, 59, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C #  0  <->  C  =/=  0
) )
6257, 61mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C #  0 )
6350, 53, 55, 62mulcanap2d 8592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  -  B
)  x.  C )  <-> 
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
64 zcn 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
65 subdir 8317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
6610, 13, 64, 65syl3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
6766ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
) )
6867eqeq2d 2187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  -  B
)  x.  C )  <-> 
( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) ) )
6963, 68bitr3d 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  <->  ( ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
70 nnz 9245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
7170adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
72 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
7372zcnd 9349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
7473adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
7554adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  C  e.  CC )
76 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
7776nnzd 9347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
7832, 77anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
79 gcdcl 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N
)  e.  NN0 )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
8180nn0cnd 9204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
82 nnne0 8920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8382neneqd 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
8483adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  -.  N  =  0 )
8584adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  -.  N  =  0 )
8685intnand 931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) )
87 gcdeq0 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N )  =  0  <->  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
8878, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N )  =  0  <->  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
8988necon3abid 2384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N )  =/=  0  <->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
9086, 89mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  =/=  0
)
9180nn0zd 9346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  ZZ )
92 0zd 9238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  0  e.  ZZ )
93 zapne 9300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( C  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
9491, 92, 93syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <-> 
( C  gcd  N
)  =/=  0 ) )
9590, 94mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N ) #  0 )
9674, 75, 81, 95divassapd 8756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  =  ( k  x.  ( C  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
9772adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
9870, 82jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
9998adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
10032, 99anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) ) )
101 3anass 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  <->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) ) )
102100, 101sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
103 divgcdz 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( C  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
104102, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
10597, 104zmulcld 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( k  x.  ( C  /  ( C  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )
10696, 105eqeltrd 2252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
107 dvdsmul1 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
10871, 106, 107syl2an2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  ||  ( N  x.  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
10976nncnd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
110109adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
111 divmulasscomap 8626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( C  gcd  N )  e.  CC  /\  ( C  gcd  N ) #  0 ) )  -> 
( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
11274, 110, 75, 81, 95, 111syl32anc 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
113108, 112breqtrrd 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) )
114113exp32 365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N 
||  ( ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  x.  C ) ) ) )
115114adantrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( k  e.  ZZ  ->  N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) ) )
116115imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) )
117116adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) )
118117imp 124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) )
119 breq2 4002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  ( N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  <-> 
N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
120118, 119syl5ibcom 155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
12169, 120sylbid 150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
122121rexlimdva 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
12331adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
124 zmulcl 9279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C
)  e.  ZZ )
1251243adant2 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
126125adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
127 zmulcl 9279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
1281273adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
129128adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
130 moddvds 11774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
131123, 126, 129, 130syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
132131adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( (
( A  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
133122, 132sylibrd 169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
134133ex 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  =/=  0  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) ) )
135134com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B )  -> 
( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  N ) ) ) )
13645, 135sylbid 150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
) ) ) )
137136imp 124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
138137com12 30 . . . . 5  |-  ( C  =/=  0  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
13925, 138jaoi 716 . . . 4  |-  ( ( C  =  0  \/  C  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
1409, 139syl 14 . . 3  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
1411, 140mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
)
142141ex 115 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146    =/= wne 2345   E.wrex 2454   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   0cc0 7786    x. cmul 7791    - cmin 8102   # cap 8512    / cdiv 8602   NNcn 8892   NN0cn0 9149   ZZcz 9226    mod cmo 10292    || cdvds 11762    gcd cgcd 11910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911
This theorem is referenced by:  cncongr  12072
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