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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12298. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1040 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9354 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9418 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 425 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 837 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2368 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 763 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 134 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9348 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8436 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9348 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8436 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2232 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5940 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5933 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5940 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5933 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5940 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2211 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | imbitrrid 156 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5933 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5933 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2211 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 1001 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 12168 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 1002 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 1003 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11981 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9464 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9384 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11971 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9471 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1019 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9355 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8706 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1291 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2208 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 190 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9466 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 12158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 9035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 12169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9355 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 12163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 9021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 4062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 4038 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 155 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2614 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9396 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1018 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9396 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 1017 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11981 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 169 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 115 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 717 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 115 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 DECID wdc 835
w3a 980
wceq 1364
wcel 2167
wne 2367
wrex 2476
class class class wbr 4034 (class class class)co 5925
cc 7894
cc0 7896
cmul 7901
cmin 8214
# cap 8625 cdiv 8716 cn 9007 cn0 9266 cz 9343 cmo 10431 cdvds 11969 cgcd 12145 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-dvds 11970 df-gcd 12146 |
| This theorem is referenced by: cncongr 12298 |
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