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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12059. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1033 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9223 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9287 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 423 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 831 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2341 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 757 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 133 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9217 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8312 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1013 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9217 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8312 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1014 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5868 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5861 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5868 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5861 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5868 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2185 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5861 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5861 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2185 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 994 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 11931 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 995 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 996 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11761 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9333 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9253 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1012 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11751 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 213 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9340 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1012 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8580 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1275 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2182 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 189 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 11921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 8906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 11932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 11926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 8892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 4017 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 3993 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2587 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9265 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1011 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9265 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 1010 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11761 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 168 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 114 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 711 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 114 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 703 DECID wdc 829
w3a 973
wceq 1348
wcel 2141
wne 2340
wrex 2449
class class class wbr 3989 (class class class)co 5853
cc 7772
cc0 7774
cmul 7779
cmin 8090
# cap 8500 cdiv 8589 cn 8878 cn0 9135 cz 9212 cmo 10278 cdvds 11749 cgcd 11897 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 826 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-sup 6961 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-fl 10226 df-mod 10279 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-dvds 11750 df-gcd 11898 |
| This theorem is referenced by: cncongr 12059 |
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