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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12095. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1038 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9258 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9322 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 425 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 836 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2348 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 762 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 134 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9252 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8344 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9252 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8344 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5885 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5878 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5885 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5878 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5885 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2192 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | imbitrrid 156 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5878 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5878 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2192 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 999 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 11967 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 1000 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 1001 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11797 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9368 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9288 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1017 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11787 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9375 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9370 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1017 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9370 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8613 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1280 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2189 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 190 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 11957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 8941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 11968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2386 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 11962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 8927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 4029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 4005 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 155 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2594 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9300 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1016 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9300 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 1015 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11797 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 169 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 115 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 716 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 115 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 708 DECID wdc 834
w3a 978
wceq 1353
wcel 2148
wne 2347
wrex 2456
class class class wbr 4001 (class class class)co 5870
cc 7804
cc0 7806
cmul 7811
cmin 8122
# cap 8532 cdiv 8623 cn 8913 cn0 9170 cz 9247 cmo 10315 cdvds 11785 cgcd 11933 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4116 ax-sep 4119 ax-nul 4127 ax-pow 4172 ax-pr 4207 ax-un 4431 ax-setind 4534 ax-iinf 4585 ax-cnex 7897 ax-resscn 7898 ax-1cn 7899 ax-1re 7900 ax-icn 7901 ax-addcl 7902 ax-addrcl 7903 ax-mulcl 7904 ax-mulrcl 7905 ax-addcom 7906 ax-mulcom 7907 ax-addass 7908 ax-mulass 7909 ax-distr 7910 ax-i2m1 7911 ax-0lt1 7912 ax-1rid 7913 ax-0id 7914 ax-rnegex 7915 ax-precex 7916 ax-cnre 7917 ax-pre-ltirr 7918 ax-pre-ltwlin 7919 ax-pre-lttrn 7920 ax-pre-apti 7921 ax-pre-ltadd 7922 ax-pre-mulgt0 7923 ax-pre-mulext 7924 ax-arch 7925 ax-caucvg 7926 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3809 df-int 3844 df-iun 3887 df-br 4002 df-opab 4063 df-mpt 4064 df-tr 4100 df-id 4291 df-po 4294 df-iso 4295 df-iord 4364 df-on 4366 df-ilim 4367 df-suc 4369 df-iom 4588 df-xp 4630 df-rel 4631 df-cnv 4632 df-co 4633 df-dm 4634 df-rn 4635 df-res 4636 df-ima 4637 df-iota 5175 df-fun 5215 df-fn 5216 df-f 5217 df-f1 5218 df-fo 5219 df-f1o 5220 df-fv 5221 df-riota 5826 df-ov 5873 df-oprab 5874 df-mpo 5875 df-1st 6136 df-2nd 6137 df-recs 6301 df-frec 6387 df-sup 6978 df-pnf 7988 df-mnf 7989 df-xr 7990 df-ltxr 7991 df-le 7992 df-sub 8124 df-neg 8125 df-reap 8526 df-ap 8533 df-div 8624 df-inn 8914 df-2 8972 df-3 8973 df-4 8974 df-n0 9171 df-z 9248 df-uz 9523 df-q 9614 df-rp 9648 df-fz 10003 df-fzo 10136 df-fl 10263 df-mod 10316 df-seqfrec 10439 df-exp 10513 df-cj 10842 df-re 10843 df-im 10844 df-rsqrt 10998 df-abs 10999 df-dvds 11786 df-gcd 11934 |
| This theorem is referenced by: cncongr 12095 |
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