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Theorem cncongr2 12882

Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12883. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
cncongr2	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem cncongr2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll3 1069	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		0z 9655	. . . . . . 7
3		zdceq 9720	. . . . . . 7 $/\$ DECID
4	2, 3	mpan2 429	. . . . . 6 DECID
5		exmiddc 848	. . . . . 6 DECID $\/$
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 $\/$
7		df-ne 2421	. . . . . 6
8	7	orbi2i 774	. . . . 5 $\/$ $\/$
9	6, 8	sylibr 134	. . . 4 $\/$
10		zcn 9649	. . . . . . . . . . . 12
11	10	mul01d 8720	. . . . . . . . . . 11
12	11	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
13		zcn 9649	. . . . . . . . . . . 12
14	13	mul01d 8720	. . . . . . . . . . 11
15	14	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
16	12, 15	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	17	oveq1d 6100	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		oveq2 6093	. . . . . . . 8
21	20	oveq1d 6100	. . . . . . 7
22		oveq2 6093	. . . . . . . 8
23	22	oveq1d 6100	. . . . . . 7
24	21, 23	eqeq12d 2253	. . . . . 6
25	19, 24	imbitrrid 156	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . 12
27		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . 12
28	26, 27	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . 11
29	28	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 $/\$
32		simp3 1030	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
33		divgcdnnr 12753	. . . . . . . . . . 11 $/\$
34	31, 32, 33	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simpl1 1031	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simpl2 1032	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		moddvds 12566	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	34	nnzd 9767	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		zsubcl 9685	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
41	40	3adant3 1048	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		divides 12556	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	39, 42, 43	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	30, 38, 44	3bitrd 214	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	46, 48	zmulcld 9774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	40	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	51	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
53	52	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	32	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
55	54	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	32	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		0zd 9656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		zapne 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ #
61	58, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
62	57, 61	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
63	50, 53, 55, 62	mulcanap2d 8990	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		zcn 9649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65		subdir 8713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66	10, 13, 64, 65	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
67	66	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	63, 68	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		nnz 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
71	70	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
73	72	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
77	76	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
78	32, 77	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		gcdcl 12743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	80	nn0cnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		nnne0 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
83	82	neneqd 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	intnand 943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		gcdeq0 12754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
88	78, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	necon3abid 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	86, 89	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	80	nn0zd 9766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		0zd 9656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		zapne 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ #
94	91, 92, 93	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
95	90, 94	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
96	74, 75, 81, 95	divassapd 9156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	72	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	70, 82	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
100	32, 99	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101		3anass 1013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		divgcdz 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
104	102, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	97, 104	zmulcld 9774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	96, 105	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		dvdsmul1 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
108	71, 106, 107	syl2an2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	76	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		divmulasscomap 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
112	74, 110, 75, 81, 95, 111	syl32anc 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	108, 112	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	exp32 365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
115	114	adantrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
116	115	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . . 14
120	118, 119	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	69, 120	sylbid 150	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121	rexlimdva 2668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		zmulcl 9698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
125	124	3adant2 1047	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		zmulcl 9698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
128	127	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		moddvds 12566	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
131	123, 126, 129, 130	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	122, 132	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	133	ex 115	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	45, 135	sylbid 150	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	imp 124	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	137	com12 30	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	25, 138	jaoi 728	. . . 4 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	9, 139	syl 14	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	1, 140	mpcom 36	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	141	ex 115	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 DECID wdc 846 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wrex 2529 class class class wbr 4130 (class class class)co 6085

cc 8177

cc0 8179

cmul 8184

cmin 8497 # cap 8909

cdiv 9002

cn 9304

cn0 9563

cz 9644

cmo 10759

cdvds 12554

cgcd 12730

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-sup 7324 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8903 df-ap 8910 df-div 9003 df-inn 9305 df-2 9363 df-3 9364 df-4 9365 df-n0 9564 df-z 9645 df-uz 9922 df-q 10020 df-rp 10055 df-fz 10412 df-fzo 10550 df-fl 10705 df-mod 10760 df-seqfrec 10885 df-exp 10976 df-cj 11607 df-re 11608 df-im 11609 df-rsqrt 11764 df-abs 11765 df-dvds 12555 df-gcd 12731

This theorem is used by: cncongr 12883

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