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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 12667. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1062 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9480 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9545 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 425 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 841 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2401 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 767 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 134 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9474 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8562 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1042 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9474 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8562 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1043 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2265 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 6028 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 6021 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 6028 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 6021 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 6028 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2244 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | imbitrrid 156 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 6021 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 6021 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2244 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 1023 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 12537 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 1024 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 1025 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 12350 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9591 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9510 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1041 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 12340 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9598 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9593 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1041 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9593 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9544 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8832 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1313 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2241 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 190 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 12527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 9161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 12538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9544 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 1006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 12532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 12364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 9147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 4114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 4090 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 155 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2648 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9523 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1040 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9523 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 1039 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 12350 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1271 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 169 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 115 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 150 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 721 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 115 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 713 DECID wdc 839
w3a 1002
wceq 1395
wcel 2200
wne 2400
wrex 2509
class class class wbr 4086 (class class class)co 6013
cc 8020
cc0 8022
cmul 8027
cmin 8340
# cap 8751 cdiv 8842 cn 9133 cn0 9392 cz 9469 cmo 10574 cdvds 12338 cgcd 12514 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-sup 7174 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-fl 10520 df-mod 10575 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-dvds 12339 df-gcd 12515 |
| This theorem is referenced by: cncongr 12667 |
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