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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 11514. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 987 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 8859 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 8920 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 417 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 785 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2263 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 717 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 133 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 8853 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 7968 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 967 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 8853 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 7968 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 968 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2130 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 271 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5705 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 271 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5698 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5705 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5698 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5705 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2109 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5698 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5698 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2109 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 272 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 272 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 948 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 11394 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 285 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 949 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 950 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11232 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1181 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 8966 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 8889 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 966 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 271 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11225 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 213 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 8973 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 8968 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 8968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 966 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 8968 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 8860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 8919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 8853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 7961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1223 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2106 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 189 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 8867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 8968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 8966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 11385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 8826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 8548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 11395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 8965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 8860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 8919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 11390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 8973 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 562 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 8534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 3893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 3871 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2502 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 272 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 8901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 965 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 8901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 964 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11232 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1181 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 271 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 168 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 114 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 674 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 114 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 667 DECID wdc 783
w3a 927
wceq 1296
wcel 1445
wne 2262
wrex 2371
class class class wbr 3867 (class class class)co 5690
cc 7445
cc0 7447
cmul 7452
cmin 7750
# cap 8155 cdiv 8236 cn 8520 cn0 8771 cz 8848 cmo 9878 cdvds 11223 cgcd 11365 |
| This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-coll 3975 ax-sep 3978 ax-nul 3986 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 ax-iinf 4431 ax-cnex 7533 ax-resscn 7534 ax-1cn 7535 ax-1re 7536 ax-icn 7537 ax-addcl 7538 ax-addrcl 7539 ax-mulcl 7540 ax-mulrcl 7541 ax-addcom 7542 ax-mulcom 7543 ax-addass 7544 ax-mulass 7545 ax-distr 7546 ax-i2m1 7547 ax-0lt1 7548 ax-1rid 7549 ax-0id 7550 ax-rnegex 7551 ax-precex 7552 ax-cnre 7553 ax-pre-ltirr 7554 ax-pre-ltwlin 7555 ax-pre-lttrn 7556 ax-pre-apti 7557 ax-pre-ltadd 7558 ax-pre-mulgt0 7559 ax-pre-mulext 7560 ax-arch 7561 ax-caucvg 7562 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 784 df-3or 928 df-3an 929 df-tru 1299 df-fal 1302 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-nel 2358 df-ral 2375 df-rex 2376 df-reu 2377 df-rmo 2378 df-rab 2379 df-v 2635 df-sbc 2855 df-csb 2948 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-nul 3303 df-if 3414 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-int 3711 df-iun 3754 df-br 3868 df-opab 3922 df-mpt 3923 df-tr 3959 df-id 4144 df-po 4147 df-iso 4148 df-iord 4217 df-on 4219 df-ilim 4220 df-suc 4222 df-iom 4434 df-xp 4473 df-rel 4474 df-cnv 4475 df-co 4476 df-dm 4477 df-rn 4478 df-res 4479 df-ima 4480 df-iota 5014 df-fun 5051 df-fn 5052 df-f 5053 df-f1 5054 df-fo 5055 df-f1o 5056 df-fv 5057 df-riota 5646 df-ov 5693 df-oprab 5694 df-mpt2 5695 df-1st 5949 df-2nd 5950 df-recs 6108 df-frec 6194 df-sup 6759 df-pnf 7621 df-mnf 7622 df-xr 7623 df-ltxr 7624 df-le 7625 df-sub 7752 df-neg 7753 df-reap 8149 df-ap 8156 df-div 8237 df-inn 8521 df-2 8579 df-3 8580 df-4 8581 df-n0 8772 df-z 8849 df-uz 9119 df-q 9204 df-rp 9234 df-fz 9574 df-fzo 9703 df-fl 9826 df-mod 9879 df-seqfrec 10001 df-exp 10070 df-cj 10391 df-re 10392 df-im 10393 df-rsqrt 10546 df-abs 10547 df-dvds 11224 df-gcd 11366 |
| This theorem is referenced by: cncongr 11514 |
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