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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 11786. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1022 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9065 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9126 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 421 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 821 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2309 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 751 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 133 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9059 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8155 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1002 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9059 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8155 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1003 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2175 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5789 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5782 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5789 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5782 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5789 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2154 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5782 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5782 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2154 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 983 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 11664 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 984 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 985 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11502 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9172 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9095 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1001 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11495 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 408 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 213 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9179 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9174 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1001 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9174 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8423 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1258 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2151 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 189 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 11655 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 8748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 11665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 11660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 8734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 3956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 3933 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2549 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9107 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1000 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9107 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 999 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11502 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1216 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 168 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 114 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 705 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 114 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 697 DECID wdc 819
w3a 962
wceq 1331
wcel 1480
wne 2308
wrex 2417
class class class wbr 3929 (class class class)co 5774
cc 7618
cc0 7620
cmul 7625
cmin 7933
# cap 8343 cdiv 8432 cn 8720 cn0 8977 cz 9054 cmo 10095 cdvds 11493 cgcd 11635 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738 ax-arch 7739 ax-caucvg 7740 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 816 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-sup 6871 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-3 8780 df-4 8781 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-q 9412 df-rp 9442 df-fz 9791 df-fzo 9920 df-fl 10043 df-mod 10096 df-seqfrec 10219 df-exp 10293 df-cj 10614 df-re 10615 df-im 10616 df-rsqrt 10770 df-abs 10771 df-dvds 11494 df-gcd 11636 |
| This theorem is referenced by: cncongr 11786 |
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