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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cncongr2 | Unicode version | ||
| Description: The other direction of the bicondition in cncongr 11822. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| cncongr2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  
        
|
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll3 1023 |
. . 3
| |
| 2 | 0z 9089 |
. . . . . . 7
 | |
| 3 | zdceq 9150 |
. . . . . . 7
DECID | |
| 4 | 2, 3 | mpan2 422 |
. . . . . 6
DECID
|
| 5 | exmiddc 822 |
. . . . . 6
DECID
 
| |
| 6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
|
| 7 | df-ne 2310 |
. . . . . 6
 
| |
| 8 | 7 | orbi2i 752 |
. . . . 5
|
| 9 | 6, 8 | sylibr 133 |
. . . 4
|
| 10 | zcn 9083 |
. . . . . . . . . . . 12
 | |
| 11 | 10 | mul01d 8179 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1003 |
. . . . . . . . . 10
|
| 13 | zcn 9083 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 14 | 13 | mul01d 8179 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 15 | 14 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . . . 10
|
| 16 | 12, 15 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 17 | oveq1d 5797 |
. . . . . . 7
|
| 19 | 18 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 20 | oveq2 5790 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | oveq1d 5797 |
. . . . . . 7
|
| 22 | oveq2 5790 |
. . . . . . . 8
| |
| 23 | 22 | oveq1d 5797 |
. . . . . . 7
|
| 24 | 21, 23 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
|
| 25 | 19, 24 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
|
| 26 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 28 | 26, 27 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 29 | 28 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
|
| 30 | 29 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
|
| 31 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 32 | simp3 984 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 33 | divgcdnnr 11700 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 34 | 31, 32, 33 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . 10
|
| 35 | simpl1 985 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 36 | simpl2 986 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 37 | moddvds 11538 |
. . . . . . . . . 10
 
| |
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . . 9
|
| 39 | 34 | nnzd 9196 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | zsubcl 9119 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 41 | 40 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 42 | 41 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
|
| 43 | divides 11531 |
. . . . . . . . . 10
 | |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
|
| 45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 213 |
. . . . . . . 8
|
| 46 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 47 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 48 | 47 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 49 | 46, 48 | zmulcld 9203 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 50 | 49 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 51 | 40 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | 51 | 3adant3 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 53 | 52 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 32 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 55 | 54 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 56 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 57 | 56 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 58 | 32 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 59 | 0zd 9090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 60 | zapne 9149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# | |
| 61 | 58, 59, 60 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
#
|
| 62 | 57, 61 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
# |
| 63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | zcn 9083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 65 | subdir 8172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1259 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 67 | 66 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 68 | 67 | eqeq2d 2152 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 69 | 63, 68 | bitr3d 189 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 70 | nnz 9097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 72 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 73 | 72 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 75 | 54 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 76 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 77 | 76 | nnzd 9196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 78 | 32, 77 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 79 | gcdcl 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 81 | 80 | nn0cnd 9056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 82 | nnne0 8772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 83 | 82 | neneqd 2330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 84 | 83 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 85 | 84 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 86 | 85 | intnand 917 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 87 | gcdeq0 11701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 89 | 88 | necon3abid 2348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 90 | 86, 89 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 91 | 80 | nn0zd 9195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 92 | 0zd 9090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 93 | zapne 9149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
#
| |
| 94 | 91, 92, 93 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
# |
| 95 | 90, 94 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
# |
| 96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 97 | 72 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 98 | 70, 82 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | 98 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 100 | 32, 99 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 101 | 3anass 967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 102 | 100, 101 | sylibr 133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 103 | divgcdz 11696 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 105 | 97, 104 | zmulcld 9203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 106 | 96, 105 | eqeltrd 2217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 107 | dvdsmul1 11551 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 108 | 71, 106, 107 | syl2an2 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 109 | 76 | nncnd 8758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 110 | 109 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 111 | divmulasscomap 8480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
# | |
| 112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 113 | 108, 112 | breqtrrd 3964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 114 | 113 | exp32 363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 115 | 114 | adantrd 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | 116 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 118 | 117 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 119 | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 120 | 118, 119 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 121 | 69, 120 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 122 | 121 | rexlimdva 2552 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 123 | 31 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | zmulcl 9131 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 125 | 124 | 3adant2 1001 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 126 | 125 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 127 | zmulcl 9131 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 128 | 127 | 3adant1 1000 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 129 | 128 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 130 | moddvds 11538 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 131 | 123, 126, 129, 130 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 132 | 131 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 133 | 122, 132 | sylibrd 168 |
. . . . . . . . . 10
|
| 134 | 133 | ex 114 |
. . . . . . . . 9
|
| 135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
|
| 136 | 45, 135 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
|
| 139 | 25, 138 | jaoi 706 |
. . . 4
|
| 140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
|
| 141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
|
| 142 | 141 | ex 114 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 698 DECID wdc 820
w3a 963
wceq 1332
wcel 1481
wne 2309
wrex 2418
class class class wbr 3937 (class class class)co 5782
cc 7642
cc0 7644
cmul 7649
cmin 7957
# cap 8367 cdiv 8456 cn 8744 cn0 9001 cz 9078 cmo 10126 cdvds 11529 cgcd 11671 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-sup 6879 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-fl 10074 df-mod 10127 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-dvds 11530 df-gcd 11672 |
| This theorem is referenced by: cncongr 11822 |
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