Theorem nprm 11650

Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nprm	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem nprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	adantr 272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	zred 9077	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		eluz2b2 9299	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
5	4	simprbi 271	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
6	5	adantl 273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐵)
7		eluzelz 9237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	adantl 273	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	zred 9077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		eluz2nn 9266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
11	10	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
12	11	nngt0d 8674	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < 𝐴)
13		ltmulgt11 8532	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
14	3, 9, 12, 13	syl3anc 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
15	6, 14	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))
16	3, 15	ltned 7800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵))
17		dvdsmul1 11363	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
18	1, 7, 17	syl2an 285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
19		isprm4 11646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵))))
20	19	simprbi 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)))
21		breq1 3898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵)))
22		eqeq1 2121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
23	21, 22	imbi12d 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) ↔ (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
24	23	rspcv 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝑥 = (𝐴 · 𝐵)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
25	20, 24	syl5 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
26	25	adantr 272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵))))
27	18, 26	mpid 42	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ → 𝐴 = (𝐴 · 𝐵)))
28	27	necon3ad 2324	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ≠ (𝐴 · 𝐵) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ))
29	16, 28	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2282  ∀wral 2390   class class class wbr 3895  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728  ℝcr 7546  0cc0 7547  1c1 7548   · cmul 7552   < clt 7724  ℕcn 8630  2c2 8681  ℤcz 8958  ℤ_≥cuz 9228   ∥ cdvds 11341  ℙcprime 11634

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-2o 6268  df-er 6383  df-en 6589  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-dvds 11342  df-prm 11635

This theorem is referenced by:  nprmi  11651  dvdsnprmd  11652  sqnprm  11662