ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexpr GIF version

Theorem prmdvdsexpr 10996
Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexpr ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem prmdvdsexpr
StepHypRef Expression
1 elnn0 8601 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 prmdvdsexpb 10995 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
32biimpd 142 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄))
433expia 1143 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
5 prmnn 10959 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
65adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℕ)
76nncnd 8364 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
87exp0d 9969 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄↑0) = 1)
98breq2d 3832 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑0) ↔ 𝑃 ∥ 1))
10 nprmdvds1 10988 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
1110pm2.21d 582 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 = 𝑄))
1211adantr 270 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 = 𝑄))
139, 12sylbid 148 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑0) → 𝑃 = 𝑄))
14 oveq2 5615 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑄𝑁) = (𝑄↑0))
1514breq2d 3832 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄↑0)))
1615imbi1d 229 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑃 ∥ (𝑄↑0) → 𝑃 = 𝑄)))
1713, 16syl5ibrcom 155 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
184, 17jaod 670 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
191, 18syl5bi 150 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
20193impia 1138 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5607  0cc0 7287  1c1 7288  cn 8350  0cn0 8599  cexp 9845  cdvds 10663  cprime 10956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3928  ax-sep 3931  ax-nul 3939  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-iinf 4375  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-1re 7376  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-mulrcl 7381  ax-addcom 7382  ax-mulcom 7383  ax-addass 7384  ax-mulass 7385  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0lt1 7388  ax-1rid 7389  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-precex 7392  ax-cnre 7393  ax-pre-ltirr 7394  ax-pre-ltwlin 7395  ax-pre-lttrn 7396  ax-pre-apti 7397  ax-pre-ltadd 7398  ax-pre-mulgt0 7399  ax-pre-mulext 7400  ax-arch 7401  ax-caucvg 7402
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3911  df-id 4093  df-po 4096  df-iso 4097  df-iord 4166  df-on 4168  df-ilim 4169  df-suc 4171  df-iom 4378  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985  df-fv 4986  df-riota 5563  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-1st 5862  df-2nd 5863  df-recs 6018  df-frec 6104  df-1o 6129  df-2o 6130  df-er 6238  df-en 6404  df-sup 6616  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465  df-sub 7592  df-neg 7593  df-reap 7986  df-ap 7993  df-div 8072  df-inn 8351  df-2 8409  df-3 8410  df-4 8411  df-n0 8600  df-z 8677  df-uz 8945  df-q 9030  df-rp 9060  df-fz 9350  df-fzo 9475  df-fl 9598  df-mod 9651  df-iseq 9773  df-iexp 9846  df-cj 10164  df-re 10165  df-im 10166  df-rsqrt 10319  df-abs 10320  df-dvds 10664  df-gcd 10806  df-prm 10957
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator