Theorem prmdvdsexpr 12152

Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsexpr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem prmdvdsexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9180	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		prmdvdsexpb 12151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
3	2	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄))
4	3	3expia 1205	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
5		prmnn 12112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
6	5	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 8935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
8	7	exp0d 10650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄↑0) = 1)
9	8	breq2d 4017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑0) ↔ 𝑃 ∥ 1))
10		nprmdvds1 12142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
11	10	pm2.21d 619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 = 𝑄))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 = 𝑄))
13	9, 12	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑0) → 𝑃 = 𝑄))
14		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑄↑𝑁) = (𝑄↑0))
15	14	breq2d 4017	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄↑0)))
16	15	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑃 ∥ (𝑄↑0) → 𝑃 = 𝑄)))
17	13, 16	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
18	4, 17	jaod 717	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
19	1, 18	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
20	19	3impia 1200	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814  ℕcn 8921  ℕ₀cn0 9178  ↑cexp 10521   ∥ cdvds 11796  ℙcprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12334  pcmpt  12343