ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdvdsfz GIF version

Theorem prmdvdsfz 10914
Description: Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfz ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsfz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9345 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
21adantl 271 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
3 exprmfct 10913 . . 3 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼)
42, 3syl 14 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼)
5 prmz 10887 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6 eluz2nn 8966 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
71, 6syl 14 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
87adantl 271 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
9 dvdsle 10639 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (𝑝𝐼𝑝𝐼))
105, 8, 9syl2anr 284 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝐼))
11 elfzle2 9351 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝑁)
1211ad2antlr 473 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼𝑁)
135zred 8778 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
1413adantl 271 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
15 elfzelz 9349 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
1615zred 8778 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
1716ad2antlr 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℝ)
18 nnre 8341 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1918ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 letr 7489 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑝𝐼𝐼𝑁) → 𝑝𝑁))
2114, 17, 19, 20syl3anc 1172 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐼𝐼𝑁) → 𝑝𝑁))
2212, 21mpan2d 419 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝑁))
2310, 22syld 44 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝑁))
2423ancrd 319 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼 → (𝑝𝑁𝑝𝐼)))
2524reximdva 2471 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼)))
264, 25mpd 13 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436  wrex 2356   class class class wbr 3814  cfv 4972  (class class class)co 5594  cr 7270  cle 7444  cn 8334  2c2 8384  cz 8660  cuz 8928  ...cfz 9333  cdvds 10590  cprime 10883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-1o 6116  df-2o 6117  df-er 6225  df-en 6391  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044  df-fz 9334  df-fzo 9458  df-fl 9580  df-mod 9633  df-iseq 9755  df-iexp 9806  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119  df-rsqrt 10272  df-abs 10273  df-dvds 10591  df-prm 10884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator