Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdvdsfz GIF version

Theorem prmdvdsfz 11878
 Description: Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfz ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsfz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9856 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
21adantl 275 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
3 exprmfct 11877 . . 3 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼)
42, 3syl 14 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼)
5 prmz 11851 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6 eluz2nn 9411 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
71, 6syl 14 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
87adantl 275 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
9 dvdsle 11601 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (𝑝𝐼𝑝𝐼))
105, 8, 9syl2anr 288 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝐼))
11 elfzle2 9862 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝑁)
1211ad2antlr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼𝑁)
135zred 9220 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
1413adantl 275 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
15 elfzelz 9860 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
1615zred 9220 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
1716ad2antlr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℝ)
18 nnre 8774 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1918ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 letr 7894 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑝𝐼𝐼𝑁) → 𝑝𝑁))
2114, 17, 19, 20syl3anc 1217 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐼𝐼𝑁) → 𝑝𝑁))
2212, 21mpan2d 425 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝑁))
2310, 22syld 45 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝑁))
2423ancrd 324 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼 → (𝑝𝑁𝑝𝐼)))
2524reximdva 2538 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼)))
264, 25mpd 13 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3938  ‘cfv 5133  (class class class)co 5784  ℝcr 7666   ≤ cle 7848  ℕcn 8767  2c2 8818  ℤcz 9101  ℤ≥cuz 9373  ...cfz 9844   ∥ cdvds 11552  ℙcprime 11847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7758  ax-resscn 7759  ax-1cn 7760  ax-1re 7761  ax-icn 7762  ax-addcl 7763  ax-addrcl 7764  ax-mulcl 7765  ax-mulrcl 7766  ax-addcom 7767  ax-mulcom 7768  ax-addass 7769  ax-mulass 7770  ax-distr 7771  ax-i2m1 7772  ax-0lt1 7773  ax-1rid 7774  ax-0id 7775  ax-rnegex 7776  ax-precex 7777  ax-cnre 7778  ax-pre-ltirr 7779  ax-pre-ltwlin 7780  ax-pre-lttrn 7781  ax-pre-apti 7782  ax-pre-ltadd 7783  ax-pre-mulgt0 7784  ax-pre-mulext 7785  ax-arch 7786  ax-caucvg 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-rn 4560  df-res 4561  df-ima 4562  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fn 5136  df-f 5137  df-f1 5138  df-fo 5139  df-f1o 5140  df-fv 5141  df-riota 5740  df-ov 5787  df-oprab 5788  df-mpo 5789  df-1st 6048  df-2nd 6049  df-recs 6212  df-frec 6298  df-1o 6323  df-2o 6324  df-er 6439  df-en 6645  df-pnf 7849  df-mnf 7850  df-xr 7851  df-ltxr 7852  df-le 7853  df-sub 7982  df-neg 7983  df-reap 8384  df-ap 8391  df-div 8480  df-inn 8768  df-2 8826  df-3 8827  df-4 8828  df-n0 9025  df-z 9102  df-uz 9374  df-q 9462  df-rp 9494  df-fz 9845  df-fzo 9974  df-fl 10097  df-mod 10150  df-seqfrec 10273  df-exp 10347  df-cj 10669  df-re 10670  df-im 10671  df-rsqrt 10825  df-abs 10826  df-dvds 11553  df-prm 11848 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator