ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdvdsfz GIF version

Theorem prmdvdsfz 11746
Description: Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfz ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsfz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9770 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
21adantl 275 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
3 exprmfct 11745 . . 3 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼)
42, 3syl 14 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼)
5 prmz 11719 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6 eluz2nn 9332 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
71, 6syl 14 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
87adantl 275 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
9 dvdsle 11469 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (𝑝𝐼𝑝𝐼))
105, 8, 9syl2anr 288 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝐼))
11 elfzle2 9776 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝑁)
1211ad2antlr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼𝑁)
135zred 9141 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
1413adantl 275 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
15 elfzelz 9774 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
1615zred 9141 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
1716ad2antlr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐼 ∈ ℝ)
18 nnre 8695 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1918ad2antrr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20 letr 7815 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑝𝐼𝐼𝑁) → 𝑝𝑁))
2114, 17, 19, 20syl3anc 1201 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐼𝐼𝑁) → 𝑝𝑁))
2212, 21mpan2d 424 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝑁))
2310, 22syld 45 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼𝑝𝑁))
2423ancrd 324 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝐼 → (𝑝𝑁𝑝𝐼)))
2524reximdva 2511 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐼 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼)))
264, 25mpd 13 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1465  wrex 2394   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  cle 7769  cn 8688  2c2 8739  cz 9022  cuz 9294  ...cfz 9758  cdvds 11420  cprime 11715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-1o 6281  df-2o 6282  df-er 6397  df-en 6603  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-prm 11716
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator