Theorem relogbexpap 15709

Description: Identity law for general logarithm: the logarithm of a power to the base is the exponent. Property 6 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbexpap	|- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> ( B logb ( B ^ M ) ) = M )

Proof of Theorem relogbexpap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . 3 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> B e. RR+ )
2		simp2 1024	. . 3 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> B # 1 )
3		simp3 1025	. . 3 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4		rplogbzexp 15705	. . 3 |- ( ( ( B e. RR+ /\ B # 1 ) /\ B e. RR+ /\ M e. ZZ ) -> ( B logb ( B ^ M ) ) = ( M x. ( B logb B ) ) )
5	1, 2, 1, 3, 4	syl211anc 1279	. 2 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> ( B logb ( B ^ M ) ) = ( M x. ( B logb B ) ) )
6		rplogbid1 15698	. . . 4 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 ) -> ( B logb B ) = 1 )
7	6	3adant3 1043	. . 3 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> ( B logb B ) = 1 )
8	7	oveq2d 6037	. 2 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> ( M x. ( B logb B ) ) = ( M x. 1 ) )
9	3	zcnd 9606	. . 3 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> M e. CC )
10	9	mulridd 8199	. 2 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> ( M x. 1 ) = M )
11	5, 8, 10	3eqtrd 2268	1 |- ( ( B e. RR+ /\ B # 1 /\ M e. ZZ ) -> ( B logb ( B ^ M ) ) = M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6021   1c1 8036   x. cmul 8040   # cap 8764   ZZcz 9482   RR+crp 9891   ^cexp 10804   log_b clogb 15694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153  ax-arch 8154  ax-caucvg 8155  ax-pre-suploc 8156  ax-addf 8157  ax-mulf 8158

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-of 6238  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-irdg 6539  df-frec 6560  df-1o 6585  df-oadd 6589  df-er 6705  df-map 6822  df-pm 6823  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-sup 7186  df-inf 7187  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-q 9857  df-rp 9892  df-xneg 10010  df-xadd 10011  df-ioo 10130  df-ico 10132  df-icc 10133  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-seqfrec 10714  df-exp 10805  df-fac 10992  df-bc 11014  df-ihash 11042  df-shft 11396  df-cj 11423  df-re 11424  df-im 11425  df-rsqrt 11579  df-abs 11580  df-clim 11860  df-sumdc 11935  df-ef 12230  df-e 12231  df-rest 13345  df-topgen 13364  df-psmet 14579  df-xmet 14580  df-met 14581  df-bl 14582  df-mopn 14583  df-top 14749  df-topon 14762  df-bases 14794  df-ntr 14847  df-cn 14939  df-cnp 14940  df-tx 15004  df-cncf 15322  df-limced 15407  df-dvap 15408  df-relog 15609  df-rpcxp 15610  df-logb 15695

This theorem is referenced by:  nnlogbexp  15710