Theorem relogbexpap 15647

Description: Identity law for general logarithm: the logarithm of a power to the base is the exponent. Property 6 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbexpap	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem relogbexpap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2		simp2 1022	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 # 1)
3		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		rplogbzexp 15643	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = (𝑀 · (𝐵 logb 𝐵)))
5	1, 2, 1, 3, 4	syl211anc 1277	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = (𝑀 · (𝐵 logb 𝐵)))
6		rplogbid1 15636	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) → (𝐵 logb 𝐵) = 1)
7	6	3adant3 1041	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb 𝐵) = 1)
8	7	oveq2d 6023	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 · (𝐵 logb 𝐵)) = (𝑀 · 1))
9	3	zcnd 9581	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
10	9	mulridd 8174	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
11	5, 8, 10	3eqtrd 2266	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  1c1 8011   · cmul 8015   # cap 8739  ℤcz 9457  ℝ⁺crp 9861  ↑cexp 10772   log_b clogb 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-pre-suploc 8131  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-ioo 10100  df-ico 10102  df-icc 10103  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-shft 11341  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880  df-ef 12174  df-e 12175  df-rest 13289  df-topgen 13308  df-psmet 14522  df-xmet 14523  df-met 14524  df-bl 14525  df-mopn 14526  df-top 14687  df-topon 14700  df-bases 14732  df-ntr 14785  df-cn 14877  df-cnp 14878  df-tx 14942  df-cncf 15260  df-limced 15345  df-dvap 15346  df-relog 15547  df-rpcxp 15548  df-logb 15633

This theorem is referenced by:  nnlogbexp  15648