Theorem rhmpsrfilem2 15125

Description: Lemma for rhmpsr et al. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsrlem1.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
rhmpsrlem1.r	|- ( ph -> R e. Ring )
rhmpsrlem2.i	|- ( ph -> I e. Fin )
rhmpsrlem1.x	|- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
rhmpsrlem1.y	|- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
rhmpsrfilem2	|- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )

Distinct variable groups:   x, D, y   f, I, y   ph, x   f, k, y, x   x, R   x, f

Allowed substitution hints:   ph( y, f, k)   D( f, k)   R( y, f, k)   I( x, k)   X( x, y, f, k)   Y( x, y, f, k)

Proof of Theorem rhmpsrfilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. 2 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3		rhmpsrlem1.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
4	3	ringcmnd 14392	. . 3 |- ( ph -> R e. CMnd )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> k e. D )
7		rhmpsrlem2.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. Fin )
9		rhmpsrlem1.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
10	9	psrbaglefifi 15115	. . 3 |- ( ( k e. D /\ I e. Fin ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
11	6, 8, 10	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
13	3	ad2antrr 492	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
14		rhmpsrlem1.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
15	14	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
16		elrabi 2979	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } -> x e. D )
17	16	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
18	15, 17	ffvelcdmd 5844	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
19		rhmpsrlem1.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
20	19	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
21	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
22	9	psrbagf 15106	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> x : I --> NN0 )
23	17, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
24		breq1 4133	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y oR <_ k <-> x oR <_ k ) )
25	24	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } <-> ( x e. D /\ x oR <_ k ) )
26	25	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } -> x oR <_ k )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x oR <_ k )
28	9	psrbagcon 15114	. . . . . . 7 |- ( ( k e. D /\ x : I --> NN0 /\ x oR <_ k ) -> ( ( k oF - x ) e. D /\ ( k oF - x ) oR <_ k ) )
29	21, 23, 27, 28	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. D /\ ( k oF - x ) oR <_ k ) )
30	29	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
31	20, 30	ffvelcdmd 5844	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
32	1, 12, 13, 18, 31	ringcld 14374	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
33	32	fmpttd 5863	. 2 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) : { y e. D | y oR <_ k } --> ( Base ` R ) )
34	1, 2, 5, 11, 33	gsumclfi 14211	1 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   `'ccnv 4773   "cima 4777   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oFcof 6300   oRcofr 6301   ^m cmap 6922   Fincfn 7022   <_ cle 8362   - cmin 8499   NNcn 9307   NN0cn0 9568   Basecbs 13404   .rcmulr 13484   0gc0g 13662  CMndccmn 14139   gsum_g cgsu 14202   Ringcrg 14352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-ofr 6303  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13496  df-mulr 13497  df-0g 13664  df-gzsum 13665  df-mgm 13728  df-sgrp 13769  df-mnd 13782  df-grp 13860  df-minusg 13861  df-mulg 13975  df-cmn 14141  df-abl 14142  df-gsumfi 14203  df-mgp 14270  df-ur 14315  df-ring 14354

This theorem is used by:  psrmulclfilem  15129