Theorem rhmpsrfilem2 15185

Description: Lemma for rhmpsr et al. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsrlem1.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
rhmpsrlem1.r	|- ( ph -> R e. Ring )
rhmpsrlem2.i	|- ( ph -> I e. Fin )
rhmpsrlem1.x	|- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
rhmpsrlem1.y	|- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
rhmpsrfilem2	|- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )

Distinct variable groups:   x, D, y   f, I, y   ph, x   f, k, y, x   x, R   x, f

Allowed substitution hints:   ph( y, f, k)   D( f, k)   R( y, f, k)   I( x, k)   X( x, y, f, k)   Y( x, y, f, k)

Proof of Theorem rhmpsrfilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. 2 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3		rhmpsrlem1.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
4	3	ringcmnd 14447	. . 3 |- ( ph -> R e. CMnd )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> k e. D )
7		rhmpsrlem2.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. Fin )
9		rhmpsrlem1.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
10	9	psrbaglefifi 15172	. . 3 |- ( ( k e. D /\ I e. Fin ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
11	6, 8, 10	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
13	3	ad2antrr 492	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
14		rhmpsrlem1.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
15	14	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
16		elrabi 2979	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } -> x e. D )
17	16	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
18	15, 17	ffvelcdmd 5847	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
19		rhmpsrlem1.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
20	19	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
21	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
22	9	psrbagf 15163	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> x : I --> NN0 )
23	17, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
24		breq1 4134	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y oR <_ k <-> x oR <_ k ) )
25	24	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } <-> ( x e. D /\ x oR <_ k ) )
26	25	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } -> x oR <_ k )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x oR <_ k )
28	9	psrbagcon 15171	. . . . . . 7 |- ( ( k e. D /\ x : I --> NN0 /\ x oR <_ k ) -> ( ( k oF - x ) e. D /\ ( k oF - x ) oR <_ k ) )
29	21, 23, 27, 28	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( k oF - x ) e. D /\ ( k oF - x ) oR <_ k ) )
30	29	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
31	20, 30	ffvelcdmd 5847	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
32	1, 12, 13, 18, 31	ringcld 14429	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
33	32	fmpttd 5866	. 2 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) : { y e. D | y oR <_ k } --> ( Base ` R ) )
34	1, 2, 5, 11, 33	gsumclfi 14249	1 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   `'ccnv 4775   "cima 4779   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6926   Fincfn 7026   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   Basecbs 13410   .rcmulr 13491   0gc0g 13669  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240   Ringcrg 14407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409

This theorem is used by:  psrmulclfilem  15189  psrdifi  15202  psrdirfi  15203