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Theorem psrbaglefifi 15114
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jul-2026.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbaglefifi |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
Distinct variable groups:   f, F   f, I   y, D   y, F   y, I
Allowed substitution hint:   D( f)
Proof of Theorem psrbaglefifi
Dummy variables p q x r z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> F e. D )
2 psrbag.d . . . . . . . 8 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
32psrbagfi 15110 . . . . . . 7 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )
43adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
51, 4eleqtrd 2317 . . . . 5 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> F e. ( NN0 ^m I ) )
6 nn0ex 9574 . . . . . . 7 |- NN0 e. _V
76a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> NN0 e. _V )
8 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> I e. Fin )
97, 8elmapd 6936 . . . . 5 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> ( F e. ( NN0 ^m I ) <-> F : I --> NN0 ) )
105, 9mpbid 147 . . . 4 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> F : I --> NN0 )
11 nn0ssz 9667 . . . . 5 |- NN0 C_ ZZ
1211a1i 9 . . . 4 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> NN0 C_ ZZ )
1310, 12fssd 5547 . . 3 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> F : I --> ZZ )
1413, 8fiidxsupcl 12011 . 2 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> E. x e. ZZ A. y e. I ( F ` y ) <_ x )
15 fveq2 5695 . . . . . 6 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
1615breq1d 4140 . . . . 5 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) <_ x <-> ( F ` z ) <_ x ) )
1716cbvralv 2786 . . . 4 |- ( A. y e. I ( F ` y ) <_ x <-> A. z e. I ( F ` z ) <_ x )
1817anbi2i 461 . . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ A. y e. I ( F ` y ) <_ x ) <-> ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) )
19 0zd 9661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) -> 0 e. ZZ )
20 simplrl 541 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) -> x e. ZZ )
2119, 20fzfigd 10882 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) -> ( 0 ... x ) e. Fin )
228ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) -> I e. Fin )
2321, 22elmapd 6936 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) -> ( y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) <-> y : I --> ( 0 ... x ) ) )
2423biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> y : I --> ( 0 ... x ) )
25 fz0ssnn0 10534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... x ) C_ NN0
2625a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> ( 0 ... x ) C_ NN0 )
2724, 26fssd 5547 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> y : I --> NN0 )
286a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> NN0 e. _V )
29 simp-4r 548 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> I e. Fin )
3028, 29elmapd 6936 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> ( y e. ( NN0 ^m I ) <-> y : I --> NN0 ) )
3127, 30mpbird 167 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> y e. ( NN0 ^m I ) )
3229, 3syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
3331, 32eleqtrrd 2318 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> y e. D )
34 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> y e. D )
354ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
3634, 35eleqtrd 2317 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> y e. ( NN0 ^m I ) )
376a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> NN0 e. _V )
38 simp-4r 548 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> I e. Fin )
3937, 38elmapd 6936 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> ( y e. ( NN0 ^m I ) <-> y : I --> NN0 ) )
4036, 39mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> y : I --> NN0 )
4140ffnd 5534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> y Fn I )
42 fvelrnb 5750 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y Fn I -> ( p e. ran y <-> E. q e. I ( y ` q ) = p ) )
4341, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> ( p e. ran y <-> E. q e. I ( y ` q ) = p ) )
4443biimpa 296 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) -> E. q e. I ( y ` q ) = p )
45 0zd 9661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> 0 e. ZZ )
46 simprl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> x e. ZZ )
4746ad4antr 498 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> x e. ZZ )
4840frnd 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> ran y C_ NN0 )
4948sselda 3248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) -> p e. NN0 )
5049nn0zd 9771 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) -> p e. ZZ )
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> p e. ZZ )
5249nn0ge0d 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) -> 0 <_ p )
5352adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> 0 <_ p )
5451zred 9773 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> p e. RR )
5510ad5antr 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> F : I --> NN0 )
56 simprl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> q e. I )
5755, 56ffvelcdmd 5844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> ( F ` q ) e. NN0 )
5857nn0red 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> ( F ` q ) e. RR )
5947zred 9773 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> x e. RR )
60 simp-4r 548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> y oR <_ F )
6141ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> y Fn I )
6210ffnd 5534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> F Fn I )
6362ad5antr 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> F Fn I )
6438ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> I e. Fin )
65 inidm 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I i^i I ) = I
66 simplrr 542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) /\ q e. I ) -> ( y ` q ) = p )
67 eqidd 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) /\ q e. I ) -> ( F ` q ) = ( F ` q ) )
6861, 63, 64, 64, 65, 66, 67ofrval 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) /\ y oR <_ F /\ q e. I ) -> p <_ ( F ` q ) )
6960, 56, 68mpd3an23 1380 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> p <_ ( F ` q ) )
70 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = q -> ( F ` z ) = ( F ` q ) )
7170breq1d 4140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = q -> ( ( F ` z ) <_ x <-> ( F ` q ) <_ x ) )
72 simprr 537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> A. z e. I ( F ` z ) <_ x )
7372ad4antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> A. z e. I ( F ` z ) <_ x )
7471, 73, 56rspcdva 2934 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> ( F ` q ) <_ x )
7554, 58, 59, 69, 74letrd 8452 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> p <_ x )
7645, 47, 51, 53, 75elfzd 10430 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) /\ ( q e. I /\ ( y ` q ) = p ) ) -> p e. ( 0 ... x ) )
7744, 76rexlimddv 2673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) /\ p e. ran y ) -> p e. ( 0 ... x ) )
7877ex 115 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> ( p e. ran y -> p e. ( 0 ... x ) ) )
7978ssrdv 3254 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> ran y C_ ( 0 ... x ) )
80 df-f 5381 . . . . . . . . . 10 |- ( y : I --> ( 0 ... x ) <-> ( y Fn I /\ ran y C_ ( 0 ... x ) ) )
8141, 79, 80sylanbrc 421 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> y : I --> ( 0 ... x ) )
82 0zd 9661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> 0 e. ZZ )
8382, 46fzfigd 10882 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> ( 0 ... x ) e. Fin )
8483ad2antrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> ( 0 ... x ) e. Fin )
8584, 38elmapd 6936 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> ( y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) <-> y : I --> ( 0 ... x ) ) )
8681, 85mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) /\ y e. D ) -> y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) )
8733, 86impbida 604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y oR <_ F ) -> ( y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) <-> y e. D ) )
8887ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> ( y oR <_ F -> ( y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) <-> y e. D ) ) )
8988pm5.32rd 455 . . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> ( ( y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) /\ y oR <_ F ) <-> ( y e. D /\ y oR <_ F ) ) )
9089rabbidva2 2805 . . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> { y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) | y oR <_ F } = { y e. D | y oR <_ F } )
918adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> I e. Fin )
92 mapfi 7261 . . . . . 6 |- ( ( ( 0 ... x ) e. Fin /\ I e. Fin ) -> ( ( 0 ... x ) ^m I ) e. Fin )
9383, 91, 92syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> ( ( 0 ... x ) ^m I ) e. Fin )
94 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) )
9583adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> ( 0 ... x ) e. Fin )
9691adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> I e. Fin )
9795, 96elmapd 6936 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> ( y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) <-> y : I --> ( 0 ... x ) ) )
9894, 97mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> y : I --> ( 0 ... x ) )
9998ffnd 5534 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> y Fn I )
10062ad2antrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> F Fn I )
10125a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> ( 0 ... x ) C_ NN0 )
10298, 101fssd 5547 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> y : I --> NN0 )
103102ffvelcdmda 5843 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) /\ r e. I ) -> ( y ` r ) e. NN0 )
104103nn0zd 9771 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) /\ r e. I ) -> ( y ` r ) e. ZZ )
10510ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) /\ r e. I ) -> F : I --> NN0 )
106 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) /\ r e. I ) -> r e. I )
107105, 106ffvelcdmd 5844 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) /\ r e. I ) -> ( F ` r ) e. NN0 )
108107nn0zd 9771 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) /\ r e. I ) -> ( F ` r ) e. ZZ )
109 zdcle 9726 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ` r ) e. ZZ /\ ( F ` r ) e. ZZ ) -> DECID ( y ` r ) <_ ( F ` r ) )
110104, 108, 109syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) /\ r e. I ) -> DECID ( y ` r ) <_ ( F ` r ) )
111110ralrimiva 2623 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> A. r e. I DECID ( y ` r ) <_ ( F ` r ) )
11299, 100, 111, 96ofrfidc 7318 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) /\ y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) ) -> DECID y oR <_ F )
113112ralrimiva 2623 . . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> A. y e. ( ( 0 ... x ) ^m I )DECID y oR <_ F )
11493, 113ssfirab 7244 . . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> { y e. ( ( 0 ... x ) ^m I ) | y oR <_ F } e. Fin )
11590, 114eqeltrrd 2316 . . 3 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. z e. I ( F ` z ) <_ x ) ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
11618, 115sylan2b 287 . 2 |- ( ( ( F e. D /\ I e. Fin ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. I ( F ` y ) <_ x ) ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
11714, 116rexlimddv 2673 1 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   `'ccnv 4773   ran crn 4775   "cima 4777   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oRcofr 6301   ^m cmap 6922   Fincfn 7022   0cc0 8180   <_ cle 8362   NNcn 9307   NN0cn0 9568   ZZcz 9649   ...cfz 10422
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-ofr 6303  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780
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