Theorem seq3shft2 9960

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3shft2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3shft2.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
seq3shft2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
seq3shft2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3shft2.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3shft2.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3shft2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺)‘(𝑁 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑘,𝐹,𝑥   𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝑦,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑦,𝐾   𝑘,𝑀,𝑥   𝑦,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝑦,𝑁   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem seq3shft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3shft2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		seq3shft2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		seq3shft2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
4		seq3shft2.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5		seq3shft2.g	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seq3shft2.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	iseqshft2 9959	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺, 𝑆)‘(𝑁 + 𝐾)))
8		eluzel2 9085	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	1, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		ssv 3047	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ V
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ V)
12	9, 11, 4, 6	iseqsst 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = seq𝑀( + , 𝐹, V))
13		df-seq3 9915	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹, V)
14	12, 13	syl6eqr 2139	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = seq𝑀( + , 𝐹))
15	14	fveq1d 5320	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
16	9, 2	zaddcld 8933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
17	16, 11, 5, 6	iseqsst 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺, 𝑆) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺, V))
18		df-seq3 9915	. . . 4 ⊢ seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺, V)
19	17, 18	syl6eqr 2139	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺, 𝑆) = seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺))
20	19	fveq1d 5320	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺, 𝑆)‘(𝑁 + 𝐾)) = (seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺)‘(𝑁 + 𝐾)))
21	7, 15, 20	3eqtr3d 2129	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq(𝑀 + 𝐾)( + , 𝐺)‘(𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  Vcvv 2620   ⊆ wss 3000  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666   + caddc 7414  ℤcz 8811  ℤ_≥cuz 9080  ...cfz 9485  seqcseq4 9912  seqcseq 9913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486  df-iseq 9914  df-seq3 9915

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  9988  seq3shft  10333