ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincos1sgn Unicode version

Theorem sincos1sgn 11807
Description: The signs of the sine and cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos1sgn  |-  ( 0  <  ( sin `  1
)  /\  0  <  ( cos `  1 ) )

Proof of Theorem sincos1sgn
StepHypRef Expression
1 1re 7987 . . 3  |-  1  e.  RR
2 0lt1 8115 . . 3  |-  0  <  1
3 1le1 8560 . . 3  |-  1  <_  1
4 0xr 8035 . . . 4  |-  0  e.  RR*
5 elioc2 9968 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) ) )
64, 1, 5mp2an 426 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1  /\  1  <_ 
1 ) )
71, 2, 3, 6mpbir3an 1181 . 2  |-  1  e.  ( 0 (,] 1
)
8 sin01gt0 11804 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( sin `  1
) )
9 cos01gt0 11805 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  0  <  ( cos `  1
) )
108, 9jca 306 . 2  |-  ( 1  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
0  <  ( sin `  1 )  /\  0  <  ( cos `  1
) ) )
117, 10ax-mp 5 1  |-  ( 0  <  ( sin `  1
)  /\  0  <  ( cos `  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   RR*cxr 8022    < clt 8023    <_ cle 8024   (,]cioc 9921   sincsin 11687   cosccos 11688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-ioc 9925  df-ico 9926  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-ihash 10791  df-shft 10859  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-sin 11693  df-cos 11694
This theorem is referenced by:  cosz12  14678
  Copyright terms: Public domain W3C validator