ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqne2sq Unicode version

Theorem sqne2sq 11429
Description: The square of a natural number can never be equal to two times the square of a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqne2sq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) )

Proof of Theorem sqne2sq
Dummy variables  a  b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3849 . . . . . . 7  |-  ( c  =  z  ->  (
2  ||  c  <->  2  ||  z ) )
21notbid 627 . . . . . 6  |-  ( c  =  z  ->  ( -.  2  ||  c  <->  -.  2  ||  z ) )
32cbvrabv 2618 . . . . 5  |-  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c }  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
4 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
( 2 ^ b
)  x.  a )  =  ( ( 2 ^ b )  x.  x ) )
5 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
2 ^ b )  =  ( 2 ^ y ) )
65oveq1d 5667 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  (
( 2 ^ b
)  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
74, 6cbvmpt2v 5728 . . . . 5  |-  ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )  =  ( x  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
83, 72sqpwodd 11428 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  (
2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
98adantl 271 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  -.  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
103, 7sqpweven 11427 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  ( A ^ 2 ) ) ) )
1110ad2antrr 472 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( A ^
2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) )  ->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  {
c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  ( A ^ 2 ) ) ) )
12 fveq2 5305 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) )  ->  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  ( A ^ 2 ) )  =  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
1312fveq2d 5309 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) )  ->  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( A ^
2 ) ) )  =  ( 2nd `  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  (
2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
1413breq2d 3857 . . . . 5  |-  ( ( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) )  ->  (
2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( A ^
2 ) ) )  <->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) ) )
1514adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( A ^
2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) )  ->  ( 2 
||  ( 2nd `  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  ( A ^ 2 ) ) )  <->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) ) )
1611, 15mpbid 145 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( A ^
2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) )  ->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  {
c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  (
2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
179, 16mtand 626 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A ^
2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) )
1817neqned 2262 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   {crab 2363   class class class wbr 3845   `'ccnv 4437   ` cfv 5015  (class class class)co 5652    |-> cmpt2 5654   2ndc2nd 5910    x. cmul 7353   NNcn 8420   2c2 8471   NN0cn0 8671   ^cexp 9950    || cdvds 11070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6290  df-en 6456  df-sup 6677  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-fl 9673  df-mod 9726  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-dvds 11071  df-gcd 11213  df-prm 11364
This theorem is referenced by:  sqrt2irraplemnn  11431
  Copyright terms: Public domain W3C validator