ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqne2sq Unicode version

Theorem sqne2sq 11750
Description: The square of a natural number can never be equal to two times the square of a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqne2sq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) )

Proof of Theorem sqne2sq
Dummy variables  a  b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3901 . . . . . . 7  |-  ( c  =  z  ->  (
2  ||  c  <->  2  ||  z ) )
21notbid 639 . . . . . 6  |-  ( c  =  z  ->  ( -.  2  ||  c  <->  -.  2  ||  z ) )
32cbvrabv 2657 . . . . 5  |-  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c }  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
4 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
( 2 ^ b
)  x.  a )  =  ( ( 2 ^ b )  x.  x ) )
5 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
2 ^ b )  =  ( 2 ^ y ) )
65oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  (
( 2 ^ b
)  x.  x )  =  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )
74, 6cbvmpov 5817 . . . . 5  |-  ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) )  =  ( x  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
83, 72sqpwodd 11749 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  (
2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
98adantl 273 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  -.  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
103, 7sqpweven 11748 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  ( A ^ 2 ) ) ) )
1110ad2antrr 477 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( A ^
2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) )  ->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  {
c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  ( A ^ 2 ) ) ) )
12 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) )  ->  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  ( A ^ 2 ) )  =  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
1312fveq2d 5391 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) )  ->  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( A ^
2 ) ) )  =  ( 2nd `  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  (
2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
1413breq2d 3909 . . . . 5  |-  ( ( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) )  ->  (
2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( A ^
2 ) ) )  <->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) ) )
1514adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( A ^
2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) )  ->  ( 2 
||  ( 2nd `  ( `' ( a  e. 
{ c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  ( A ^ 2 ) ) )  <->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  { c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } , 
b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a ) ) `
 ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) ) )
1611, 15mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( A ^
2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) )  ->  2  ||  ( 2nd `  ( `' ( a  e.  {
c  e.  NN  |  -.  2  ||  c } ,  b  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ b )  x.  a
) ) `  (
2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
179, 16mtand 637 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A ^
2 )  =  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) )
1817neqned 2290 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   {crab 2395   class class class wbr 3897   `'ccnv 4506   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    e. cmpo 5742   2ndc2nd 6003    x. cmul 7589   NNcn 8677   2c2 8728   NN0cn0 8928   ^cexp 10232    || cdvds 11389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390  df-gcd 11532  df-prm 11685
This theorem is referenced by:  sqrt2irraplemnn  11752
  Copyright terms: Public domain W3C validator