Theorem sqne2sq 12315

Description: The square of a natural number can never be equal to two times the square of a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqne2sq	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))

Proof of Theorem sqne2sq

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (2 ∥ 𝑐 ↔ 2 ∥ 𝑧))
2	1	notbid 668	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (¬ 2 ∥ 𝑐 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑧))
3	2	cbvrabv 2759	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
4		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((2↑𝑏) · 𝑎) = ((2↑𝑏) · 𝑥))
5		oveq2 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (2↑𝑏) = (2↑𝑦))
6	5	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((2↑𝑏) · 𝑥) = ((2↑𝑦) · 𝑥))
7	4, 6	cbvmpov 5998	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎)) = (𝑥 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
8	3, 7	2sqpwodd 12314	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2)))))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2)))))
10	3, 7	sqpweven 12313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))))
11	10	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))) → 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))))
12		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2)) → (◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2)) = (◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2))))
13	12	fveq2d 5558	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2)) → (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))) = (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2)))))
14	13	breq2d 4041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2)) → (2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))) ↔ 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2))))))
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))) → (2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))) ↔ 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2))))))
16	11, 15	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))) → 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2)))))
17	9, 16	mtand 666	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2)))
18	17	neqned 2371	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  {crab 2476   class class class wbr 4029  ^◡ccnv 4658  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ∈ cmpo 5920  2^nd c2nd 6192   · cmul 7877  ℕcn 8982  2c2 9033  ℕ₀cn0 9240  ↑cexp 10609   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246

This theorem is referenced by:  sqrt2irraplemnn  12317