Theorem sqne2sq 12955

Description: The square of a natural number can never be equal to two times the square of a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqne2sq	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))

Proof of Theorem sqne2sq

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (2 ∥ 𝑐 ↔ 2 ∥ 𝑧))
2	1	notbid 677	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (¬ 2 ∥ 𝑐 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑧))
3	2	cbvrabv 2820	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
4		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((2↑𝑏) · 𝑎) = ((2↑𝑏) · 𝑥))
5		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (2↑𝑏) = (2↑𝑦))
6	5	oveq1d 6100	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((2↑𝑏) · 𝑥) = ((2↑𝑦) · 𝑥))
7	4, 6	cbvmpov 6168	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎)) = (𝑥 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
8	3, 7	2sqpwodd 12954	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2)))))
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2)))))
10	3, 7	sqpweven 12953	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))))
11	10	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))) → 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))))
12		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2)) → (◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2)) = (◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2))))
13	12	fveq2d 5699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2)) → (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))) = (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2)))))
14	13	breq2d 4142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2)) → (2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))) ↔ 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2))))))
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))) → (2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(𝐴↑2))) ↔ 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2))))))
16	11, 15	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))) → 2 ∥ (2nd ‘(◡(𝑎 ∈ {𝑐 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑐}, 𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑏) · 𝑎))‘(2 · (𝐵↑2)))))
17	9, 16	mtand 675	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2)))
18	17	neqned 2427	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532   class class class wbr 4130  ^◡ccnv 4773  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  2^nd c2nd 6373   · cmul 8184  ℕcn 9304  2c2 9355  ℕ₀cn0 9563  ↑cexp 10975   ∥ cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-gcd 12731  df-prm 12886

This theorem is used by:  sqrt2irraplemnn  12957