Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irraplemnn Unicode version

Theorem sqrt2irraplemnn 11916
 Description: Lemma for sqrt2irrap 11917. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irraplemnn #

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . . 7
21nnsqcld 10499 . . . . . 6
32nnred 8780 . . . . 5
4 0red 7814 . . . . . 6
52nngt0d 8811 . . . . . 6
64, 3, 5ltled 7928 . . . . 5
7 simpr 109 . . . . . . 7
87nnsqcld 10499 . . . . . 6
98nnrpd 9534 . . . . 5
103, 6, 9sqrtdivd 10995 . . . 4
111nnred 8780 . . . . . 6
121nngt0d 8811 . . . . . . 7
134, 11, 12ltled 7928 . . . . . 6
1411, 13sqrtsqd 10992 . . . . 5
157nnred 8780 . . . . . 6
167nngt0d 8811 . . . . . . 7
174, 15, 16ltled 7928 . . . . . 6
1815, 17sqrtsqd 10992 . . . . 5
1914, 18oveq12d 5802 . . . 4
2010, 19eqtrd 2173 . . 3
21 sqne2sq 11914 . . . . . 6
222nncnd 8781 . . . . . . . 8
23 2cnd 8840 . . . . . . . 8
248nncnd 8781 . . . . . . . 8
258nnap0d 8813 . . . . . . . 8 #
2622, 23, 24, 25divmulap3d 8632 . . . . . . 7
2726necon3bid 2350 . . . . . 6
2821, 27mpbird 166 . . . . 5
292nnzd 9219 . . . . . . 7
30 znq 9466 . . . . . . 7
3129, 8, 30syl2anc 409 . . . . . 6
32 2z 9129 . . . . . . 7
33 zq 9468 . . . . . . 7
3432, 33mp1i 10 . . . . . 6
35 qapne 9481 . . . . . 6 #
3631, 34, 35syl2anc 409 . . . . 5 #
3728, 36mpbird 166 . . . 4 #
38 qre 9467 . . . . . 6
3931, 38syl 14 . . . . 5
408nnred 8780 . . . . . . 7
418nngt0d 8811 . . . . . . 7
423, 40, 5, 41divgt0d 8740 . . . . . 6
434, 39, 42ltled 7928 . . . . 5
44 2re 8837 . . . . . 6
4544a1i 9 . . . . 5
46 0le2 8857 . . . . . 6
4746a1i 9 . . . . 5
48 sqrt11ap 10865 . . . . 5 # #
4939, 43, 45, 47, 48syl22anc 1218 . . . 4 # #
5037, 49mpbird 166 . . 3 #
5120, 50eqbrtrrd 3961 . 2 #
52 nnz 9120 . . . . 5
53 znq 9466 . . . . 5
5452, 53sylan 281 . . . 4
55 qcn 9476 . . . 4
5654, 55syl 14 . . 3
57 sqrt2re 11900 . . . . 5
5857recni 7825 . . . 4
5958a1i 9 . . 3
60 apsym 8415 . . 3 # #
6156, 59, 60syl2anc 409 . 2 # #
6251, 61mpbid 146 1 #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wcel 1481   wne 2309   class class class wbr 3938  cfv 5133  (class class class)co 5784  cc 7665  cr 7666  cc0 7667   cmul 7672   cle 7848   # cap 8390   cdiv 8479  cn 8767  c2 8818  cz 9101  cq 9461  cexp 10346  csqrt 10823 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7758  ax-resscn 7759  ax-1cn 7760  ax-1re 7761  ax-icn 7762  ax-addcl 7763  ax-addrcl 7764  ax-mulcl 7765  ax-mulrcl 7766  ax-addcom 7767  ax-mulcom 7768  ax-addass 7769  ax-mulass 7770  ax-distr 7771  ax-i2m1 7772  ax-0lt1 7773  ax-1rid 7774  ax-0id 7775  ax-rnegex 7776  ax-precex 7777  ax-cnre 7778  ax-pre-ltirr 7779  ax-pre-ltwlin 7780  ax-pre-lttrn 7781  ax-pre-apti 7782  ax-pre-ltadd 7783  ax-pre-mulgt0 7784  ax-pre-mulext 7785  ax-arch 7786  ax-caucvg 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-rn 4560  df-res 4561  df-ima 4562  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fn 5136  df-f 5137  df-f1 5138  df-fo 5139  df-f1o 5140  df-fv 5141  df-riota 5740  df-ov 5787  df-oprab 5788  df-mpo 5789  df-1st 6048  df-2nd 6049  df-recs 6212  df-frec 6298  df-1o 6323  df-2o 6324  df-er 6439  df-en 6645  df-sup 6884  df-pnf 7849  df-mnf 7850  df-xr 7851  df-ltxr 7852  df-le 7853  df-sub 7982  df-neg 7983  df-reap 8384  df-ap 8391  df-div 8480  df-inn 8768  df-2 8826  df-3 8827  df-4 8828  df-n0 9025  df-z 9102  df-uz 9374  df-q 9462  df-rp 9494  df-fz 9845  df-fzo 9974  df-fl 10097  df-mod 10150  df-seqfrec 10273  df-exp 10347  df-cj 10669  df-re 10670  df-im 10671  df-rsqrt 10825  df-abs 10826  df-dvds 11553  df-gcd 11695  df-prm 11848 This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  11917
 Copyright terms: Public domain W3C validator