Theorem sqrt2irraplemnn 12901

Description: Lemma for sqrt2irrap 12902. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. NN )
2	1	nnsqcld 11081	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. NN )
3	2	nnred 9267	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
4		0red 8291	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
5	2	nngt0d 9298	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A ^ 2 ) )
6	4, 3, 5	ltled 8408	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A ^ 2 ) )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. NN )
8	7	nnsqcld 11081	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnrpd 10045	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR+ )
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11878	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) )
11	1	nnred 9267	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12	1	nngt0d 9298	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
13	4, 11, 12	ltled 8408	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
14	11, 13	sqrtsqd 11875	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
15	7	nnred 9267	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
16	7	nngt0d 9298	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
17	4, 15, 16	ltled 8408	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
18	15, 17	sqrtsqd 11875	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) = B )
19	14, 18	oveq12d 6076	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
20	10, 19	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
21		sqne2sq 12899	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) )
22	2	nncnd 9268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
23		2cnd 9327	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. CC )
24	8	nncnd 9268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
25	8	nnap0d 9300	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) # 0 )
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 9116	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) = 2 <-> ( A ^ 2 ) = ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
27	26	necon3bid 2455	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 <-> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
28	21, 27	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 )
29	2	nnzd 9717	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
30		znq 9974	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
31	29, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
32		2z 9622	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
33		zq 9976	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. QQ )
35		qapne 9989	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ /\ 2 e. QQ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
37	28, 36	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 )
38		qre 9975	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
40	8	nnred 9267	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
41	8	nngt0d 9298	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( B ^ 2 ) )
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 9226	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
43	4, 39, 42	ltled 8408	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
44		2re 9324	. . . . . 6 |- 2 e. RR
45	44	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. RR )
46		0le2 9344	. . . . . 6 |- 0 <_ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ 2 )
48		sqrt11ap 11748	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
50	37, 49	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) )
51	20, 50	eqbrtrrd 4138	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) )
52		nnz 9613	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
53		znq 9974	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
54	52, 53	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
55		qcn 9984	. . . 4 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
56	54, 55	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. CC )
57		sqrt2re 12885	. . . . 5 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
58	57	recni 8302	. . . 4 |- ( sqr ` 2 ) e. CC
59	58	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) e. CC )
60		apsym 8897	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) e. CC ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
61	56, 59, 60	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
62	51, 61	mpbid 147	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   x. cmul 8148   <_ cle 8325   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   QQcq 9969   ^cexp 10924   sqrcsqrt 11706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830

This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12902