Theorem sqrt2irraplemnn 12959

Description: Lemma for sqrt2irrap 12960. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. NN )
2	1	nnsqcld 11134	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. NN )
3	2	nnred 9318	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
4		0red 8327	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
5	2	nngt0d 9349	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A ^ 2 ) )
6	4, 3, 5	ltled 8445	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A ^ 2 ) )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. NN )
8	7	nnsqcld 11134	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnrpd 10097	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR+ )
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11936	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) )
11	1	nnred 9318	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12	1	nngt0d 9349	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
13	4, 11, 12	ltled 8445	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
14	11, 13	sqrtsqd 11933	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
15	7	nnred 9318	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
16	7	nngt0d 9349	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
17	4, 15, 16	ltled 8445	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
18	15, 17	sqrtsqd 11933	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) = B )
19	14, 18	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
20	10, 19	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
21		sqne2sq 12957	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) )
22	2	nncnd 9319	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
23		2cnd 9378	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. CC )
24	8	nncnd 9319	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
25	8	nnap0d 9351	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) # 0 )
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 9156	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) = 2 <-> ( A ^ 2 ) = ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
27	26	necon3bid 2461	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 <-> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
28	21, 27	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 )
29	2	nnzd 9769	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
30		znq 10026	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
31	29, 8, 30	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
32		2z 9674	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
33		zq 10028	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. QQ )
35		qapne 10041	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ /\ 2 e. QQ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
37	28, 36	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 )
38		qre 10027	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
40	8	nnred 9318	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
41	8	nngt0d 9349	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( B ^ 2 ) )
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 9266	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
43	4, 39, 42	ltled 8445	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
44		2re 9375	. . . . . 6 |- 2 e. RR
45	44	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. RR )
46		0le2 9395	. . . . . 6 |- 0 <_ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ 2 )
48		sqrt11ap 11806	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1279	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
50	37, 49	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) )
51	20, 50	eqbrtrrd 4154	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) )
52		nnz 9665	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
53		znq 10026	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
54	52, 53	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
55		qcn 10036	. . . 4 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
56	54, 55	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. CC )
57		sqrt2re 12943	. . . . 5 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
58	57	recni 8338	. . . 4 |- ( sqr ` 2 ) e. CC
59	58	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) e. CC )
60		apsym 8935	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) e. CC ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
61	56, 59, 60	syl2anc 415	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
62	51, 61	mpbid 147	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   x. cmul 8184   <_ cle 8361   # cap 8910   / cdiv 9003   NNcn 9305   2c2 9356   ZZcz 9646   QQcq 10021   ^cexp 10977   sqrcsqrt 11764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-prm 12888

This theorem is used by:  sqrt2irrap  12960