Theorem sqrt2irraplemnn 12812

Description: Lemma for sqrt2irrap 12813. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. NN )
2	1	nnsqcld 11000	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. NN )
3	2	nnred 9199	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
4		0red 8223	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
5	2	nngt0d 9230	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A ^ 2 ) )
6	4, 3, 5	ltled 8341	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A ^ 2 ) )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. NN )
8	7	nnsqcld 11000	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnrpd 9972	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR+ )
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11789	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) )
11	1	nnred 9199	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12	1	nngt0d 9230	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
13	4, 11, 12	ltled 8341	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
14	11, 13	sqrtsqd 11786	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
15	7	nnred 9199	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
16	7	nngt0d 9230	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
17	4, 15, 16	ltled 8341	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
18	15, 17	sqrtsqd 11786	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) = B )
19	14, 18	oveq12d 6046	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
20	10, 19	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
21		sqne2sq 12810	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) )
22	2	nncnd 9200	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
23		2cnd 9259	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. CC )
24	8	nncnd 9200	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
25	8	nnap0d 9232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) # 0 )
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 9048	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) = 2 <-> ( A ^ 2 ) = ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
27	26	necon3bid 2444	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 <-> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
28	21, 27	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 )
29	2	nnzd 9644	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
30		znq 9901	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
31	29, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
32		2z 9550	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
33		zq 9903	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. QQ )
35		qapne 9916	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ /\ 2 e. QQ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
37	28, 36	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 )
38		qre 9902	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
40	8	nnred 9199	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
41	8	nngt0d 9230	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( B ^ 2 ) )
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 9158	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
43	4, 39, 42	ltled 8341	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
44		2re 9256	. . . . . 6 |- 2 e. RR
45	44	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. RR )
46		0le2 9276	. . . . . 6 |- 0 <_ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ 2 )
48		sqrt11ap 11659	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
50	37, 49	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) )
51	20, 50	eqbrtrrd 4117	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) )
52		nnz 9541	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
53		znq 9901	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
54	52, 53	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
55		qcn 9911	. . . 4 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
56	54, 55	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. CC )
57		sqrt2re 12796	. . . . 5 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
58	57	recni 8234	. . . 4 |- ( sqr ` 2 ) e. CC
59	58	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) e. CC )
60		apsym 8829	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) e. CC ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
61	56, 59, 60	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
62	51, 61	mpbid 147	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   x. cmul 8080   <_ cle 8258   # cap 8804   / cdiv 8895   NNcn 9186   2c2 9237   ZZcz 9522   QQcq 9896   ^cexp 10844   sqrcsqrt 11617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-gcd 12586  df-prm 12741

This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12813