ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irraplemnn Unicode version

Theorem sqrt2irraplemnn 11237
Description: Lemma for sqrt2irrap 11238. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irraplemnn  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
) #  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
21nnsqcld 10071 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
32nnred 8407 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
4 0red 7468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
52nngt0d 8437 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A ^ 2 ) )
64, 3, 5ltled 7581 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
7 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
87nnsqcld 10071 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
98nnrpd 9141 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR+ )
103, 6, 9sqrtdivd 10565 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( B ^ 2 ) ) ) )
111nnred 8407 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
121nngt0d 8437 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
134, 11, 12ltled 7581 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  A )
1411, 13sqrtsqd 10562 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  A )
157nnred 8407 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
167nngt0d 8437 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
174, 15, 16ltled 7581 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  B )
1815, 17sqrtsqd 10562 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( B ^ 2 ) )  =  B )
1914, 18oveq12d 5652 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  /  B ) )
2010, 19eqtrd 2120 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  /  B ) )
21 sqne2sq 11235 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) )
222nncnd 8408 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
23 2cnd 8466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
248nncnd 8408 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
258nnap0d 8439 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 ) #  0 )
2622, 23, 24, 25divmulap3d 8264 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =  2  <-> 
( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) ) )
2726necon3bid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =/=  2  <->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
2821, 27mpbird 165 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =/=  2 )
292nnzd 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
30 znq 9078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ )
3129, 8, 30syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ )
32 2z 8748 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
33 zq 9080 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  QQ )
3432, 33mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  QQ )
35 qapne 9093 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ  /\  2  e.  QQ )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2  <->  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =/=  2
) )
3631, 34, 35syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) #  2  <->  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =/=  2 ) )
3728, 36mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2 )
38 qre 9079 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ  ->  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
3931, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
408nnred 8407 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
418nngt0d 8437 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( B ^ 2 ) )
423, 40, 5, 41divgt0d 8368 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) ) )
434, 39, 42ltled 7581 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) )
44 2re 8463 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
4544a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
46 0le2 8483 . . . . . 6  |-  0  <_  2
4746a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  2 )
48 sqrt11ap 10435 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2 )  <-> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2 ) )
4939, 43, 45, 47, 48syl22anc 1175 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2
)  <->  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) #  2 ) )
5037, 49mpbird 165 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2
) )
5120, 50eqbrtrrd 3859 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
) #  ( sqr `  2
) )
52 nnz 8739 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
53 znq 9078 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
5452, 53sylan 277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
55 qcn 9088 . . . 4  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
5654, 55syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
57 sqrt2re 11222 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
5857recni 7479 . . . 4  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
5958a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
)  e.  CC )
60 apsym 8059 . . 3  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  e.  CC )  -> 
( ( A  /  B ) #  ( sqr `  2 )  <->  ( sqr `  2 ) #  ( A  /  B ) ) )
6156, 59, 60syl2anc 403 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B ) #  ( sqr `  2 )  <->  ( sqr `  2 ) #  ( A  /  B ) ) )
6251, 61mpbid 145 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
) #  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438    =/= wne 2255   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329    x. cmul 7334    <_ cle 7502   # cap 8034    / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   ZZcz 8720   QQcq 9073   ^cexp 9918   sqrcsqrt 10393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-er 6272  df-en 6438  df-sup 6658  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9919  df-cj 10240  df-re 10241  df-im 10242  df-rsqrt 10395  df-abs 10396  df-dvds 10877  df-gcd 11019  df-prm 11170
This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  11238
  Copyright terms: Public domain W3C validator