ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irraplemnn Unicode version

Theorem sqrt2irraplemnn 11752
Description: Lemma for sqrt2irrap 11753. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irraplemnn  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
) #  ( A  /  B ) )

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
21nnsqcld 10385 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
32nnred 8690 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
4 0red 7731 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
52nngt0d 8721 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A ^ 2 ) )
64, 3, 5ltled 7845 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
7 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
87nnsqcld 10385 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
98nnrpd 9428 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR+ )
103, 6, 9sqrtdivd 10880 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( B ^ 2 ) ) ) )
111nnred 8690 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
121nngt0d 8721 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
134, 11, 12ltled 7845 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  A )
1411, 13sqrtsqd 10877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  =  A )
157nnred 8690 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
167nngt0d 8721 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
174, 15, 16ltled 7845 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  B )
1815, 17sqrtsqd 10877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( B ^ 2 ) )  =  B )
1914, 18oveq12d 5758 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( A ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  /  B ) )
2010, 19eqtrd 2148 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  /  B ) )
21 sqne2sq 11750 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) )
222nncnd 8691 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
23 2cnd 8750 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
248nncnd 8691 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
258nnap0d 8723 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 ) #  0 )
2622, 23, 24, 25divmulap3d 8545 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =  2  <-> 
( A ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( B ^
2 ) ) ) )
2726necon3bid 2324 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =/=  2  <->  ( A ^ 2 )  =/=  ( 2  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
2821, 27mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =/=  2 )
292nnzd 9123 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
30 znq 9365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ )
3129, 8, 30syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ )
32 2z 9033 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
33 zq 9367 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  QQ )
3432, 33mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  QQ )
35 qapne 9380 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ  /\  2  e.  QQ )  ->  (
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2  <->  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  =/=  2
) )
3631, 34, 35syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) #  2  <->  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =/=  2 ) )
3728, 36mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2 )
38 qre 9366 . . . . . 6  |-  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  QQ  ->  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
3931, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
408nnred 8690 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
418nngt0d 8721 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( B ^ 2 ) )
423, 40, 5, 41divgt0d 8650 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) ) )
434, 39, 42ltled 7845 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) )
44 2re 8747 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
4544a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
46 0le2 8767 . . . . . 6  |-  0  <_  2
4746a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  2 )
48 sqrt11ap 10750 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2 )  <-> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) ) #  2 ) )
4939, 43, 45, 47, 48syl22anc 1200 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2
)  <->  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) #  2 ) )
5037, 49mpbird 166 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  2
) )
5120, 50eqbrtrrd 3920 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
) #  ( sqr `  2
) )
52 nnz 9024 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
53 znq 9365 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
5452, 53sylan 279 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
55 qcn 9375 . . . 4  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
5654, 55syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
57 sqrt2re 11737 . . . . 5  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
5857recni 7742 . . . 4  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
5958a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
)  e.  CC )
60 apsym 8331 . . 3  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  e.  CC )  -> 
( ( A  /  B ) #  ( sqr `  2 )  <->  ( sqr `  2 ) #  ( A  /  B ) ) )
6156, 59, 60syl2anc 406 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B ) #  ( sqr `  2 )  <->  ( sqr `  2 ) #  ( A  /  B ) ) )
6251, 61mpbid 146 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( sqr `  2
) #  ( A  /  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1463    =/= wne 2283   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584    x. cmul 7589    <_ cle 7765   # cap 8306    / cdiv 8392   NNcn 8677   2c2 8728   ZZcz 9005   QQcq 9360   ^cexp 10232   sqrcsqrt 10708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390  df-gcd 11532  df-prm 11685
This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  11753
  Copyright terms: Public domain W3C validator