Theorem sqrt2irraplemnn 12181

Description: Lemma for sqrt2irrap 12182. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. NN )
2	1	nnsqcld 10677	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. NN )
3	2	nnred 8934	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
4		0red 7960	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
5	2	nngt0d 8965	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A ^ 2 ) )
6	4, 3, 5	ltled 8078	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A ^ 2 ) )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. NN )
8	7	nnsqcld 10677	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnrpd 9696	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR+ )
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11179	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) )
11	1	nnred 8934	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12	1	nngt0d 8965	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
13	4, 11, 12	ltled 8078	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
14	11, 13	sqrtsqd 11176	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
15	7	nnred 8934	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
16	7	nngt0d 8965	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
17	4, 15, 16	ltled 8078	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
18	15, 17	sqrtsqd 11176	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) = B )
19	14, 18	oveq12d 5895	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
20	10, 19	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
21		sqne2sq 12179	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) )
22	2	nncnd 8935	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
23		2cnd 8994	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. CC )
24	8	nncnd 8935	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
25	8	nnap0d 8967	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) # 0 )
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 8784	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) = 2 <-> ( A ^ 2 ) = ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
27	26	necon3bid 2388	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 <-> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
28	21, 27	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 )
29	2	nnzd 9376	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
30		znq 9626	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
31	29, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
32		2z 9283	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
33		zq 9628	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. QQ )
35		qapne 9641	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ /\ 2 e. QQ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
37	28, 36	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 )
38		qre 9627	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
40	8	nnred 8934	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
41	8	nngt0d 8965	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( B ^ 2 ) )
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 8894	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
43	4, 39, 42	ltled 8078	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
44		2re 8991	. . . . . 6 |- 2 e. RR
45	44	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. RR )
46		0le2 9011	. . . . . 6 |- 0 <_ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ 2 )
48		sqrt11ap 11049	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1239	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
50	37, 49	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) )
51	20, 50	eqbrtrrd 4029	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) )
52		nnz 9274	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
53		znq 9626	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
54	52, 53	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
55		qcn 9636	. . . 4 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
56	54, 55	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. CC )
57		sqrt2re 12165	. . . . 5 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
58	57	recni 7971	. . . 4 |- ( sqr ` 2 ) e. CC
59	58	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) e. CC )
60		apsym 8565	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) e. CC ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
61	56, 59, 60	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
62	51, 61	mpbid 147	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   x. cmul 7818   <_ cle 7995   # cap 8540   / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   ZZcz 9255   QQcq 9621   ^cexp 10521   sqrcsqrt 11007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12182