Theorem sqrt2irraplemnn 12317

Description: Lemma for sqrt2irrap 12318. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. NN )
2	1	nnsqcld 10765	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. NN )
3	2	nnred 8995	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. RR )
4		0red 8020	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
5	2	nngt0d 9026	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A ^ 2 ) )
6	4, 3, 5	ltled 8138	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A ^ 2 ) )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. NN )
8	7	nnsqcld 10765	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. NN )
9	8	nnrpd 9760	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR+ )
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11312	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) )
11	1	nnred 8995	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12	1	nngt0d 9026	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
13	4, 11, 12	ltled 8138	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
14	11, 13	sqrtsqd 11309	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) = A )
15	7	nnred 8995	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
16	7	nngt0d 9026	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
17	4, 15, 16	ltled 8138	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
18	15, 17	sqrtsqd 11309	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) = B )
19	14, 18	oveq12d 5936	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( A ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
20	10, 19	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( A / B ) )
21		sqne2sq 12315	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) )
22	2	nncnd 8996	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
23		2cnd 9055	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. CC )
24	8	nncnd 8996	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
25	8	nnap0d 9028	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) # 0 )
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 8844	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) = 2 <-> ( A ^ 2 ) = ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
27	26	necon3bid 2405	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 <-> ( A ^ 2 ) =/= ( 2 x. ( B ^ 2 ) ) ) )
28	21, 27	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 )
29	2	nnzd 9438	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
30		znq 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
31	29, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ )
32		2z 9345	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
33		zq 9691	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. QQ )
35		qapne 9704	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ /\ 2 e. QQ ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) =/= 2 ) )
37	28, 36	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 )
38		qre 9690	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR )
40	8	nnred 8995	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
41	8	nngt0d 9026	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( B ^ 2 ) )
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 8954	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
43	4, 39, 42	ltled 8138	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) )
44		2re 9052	. . . . . 6 |- 2 e. RR
45	44	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 2 e. RR )
46		0le2 9072	. . . . . 6 |- 0 <_ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ 2 )
48		sqrt11ap 11182	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) # 2 ) )
50	37, 49	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) ) # ( sqr ` 2 ) )
51	20, 50	eqbrtrrd 4053	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) )
52		nnz 9336	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
53		znq 9689	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
54	52, 53	sylan 283	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
55		qcn 9699	. . . 4 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
56	54, 55	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. CC )
57		sqrt2re 12301	. . . . 5 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
58	57	recni 8031	. . . 4 |- ( sqr ` 2 ) e. CC
59	58	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) e. CC )
60		apsym 8625	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ ( sqr ` 2 ) e. CC ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
61	56, 59, 60	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) # ( sqr ` 2 ) <-> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) ) )
62	51, 61	mpbid 147	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( sqr ` 2 ) # ( A / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   x. cmul 7877   <_ cle 8055   # cap 8600   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   ZZcz 9317   QQcq 9684   ^cexp 10609   sqrcsqrt 11140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246

This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12318