Theorem zringbas 14568

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zring 14563	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring = (ℂfld ↾s ℤ))
3		cnfldbas 14532	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
5		cnfldex 14531	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ V)
7		zsscn 9462	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤ ⊆ ℂ)
9	2, 4, 6, 8	ressbas2d 13109	. 2 ⊢ (⊤ → ℤ = (Base‘ℤring))
10	9	mptru 1404	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  ℤcz 9454  Basecbs 13040   ↾_s cress 13041  ℂ_fldccnfld 14528  ℤ_ringczring 14562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-rp 9858  df-fz 10213  df-cj 11361  df-abs 11518  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-starv 13133  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-unif 13141  df-topgen 13301  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-fg 14521  df-metu 14522  df-cnfld 14529  df-zring 14563

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  14575  zringinvg  14576  expghmap  14579  mulgghm2  14580  mulgrhm  14581  mulgrhm2  14582  znlidl  14606  znbas  14616  znzrh2  14618  znzrhfo  14620  zndvds  14621  znf1o  14623  znidom  14629  znidomb  14630  znunit  14631  znrrg  14632  lgseisenlem3  15759  lgseisenlem4  15760