Theorem zringbas 14856

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zring 14851	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring = (ℂfld ↾s ℤ))
3		cnfldbas 14820	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
5		cnfldex 14819	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ V)
7		zsscn 9602	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤ ⊆ ℂ)
9	2, 4, 6, 8	ressbas2d 13365	. 2 ⊢ (⊤ → ℤ = (Base‘ℤring))
10	9	mptru 1407	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℤcz 9594  Basecbs 13296   ↾_s cress 13297  ℂ_fldccnfld 14816  ℤ_ringczring 14850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-rp 10005  df-fz 10362  df-cj 11552  df-abs 11709  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-starv 13389  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-unif 13397  df-topgen 13557  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-fg 14809  df-metu 14810  df-cnfld 14817  df-zring 14851

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  14863  zringinvg  14864  expghmap  14867  mulgghm2  14868  mulgrhm  14869  mulgrhm2  14870  znlidl  14894  znbas  14904  znzrh2  14906  znzrhfo  14908  zndvds  14909  znf1o  14911  znidom  14917  znidomb  14918  znunit  14919  znrrg  14920  lgseisenlem3  16057  lgseisenlem4  16058