Theorem zringbas 14914

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zring 14909	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring = (ℂfld ↾s ℤ))
3		cnfldbas 14880	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
5		cnfldex 14879	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ V)
7		zsscn 9635	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤ ⊆ ℂ)
9	2, 4, 6, 8	ressbas2d 13405	. 2 ⊢ (⊤ → ℤ = (Base‘ℤring))
10	9	mptru 1411	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℤcz 9627  Basecbs 13335   ↾_s cress 13336  ℂ_fldccnfld 14876  ℤ_ringczring 14908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-rp 10038  df-fz 10395  df-cj 11590  df-abs 11748  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-topgen 13597  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-zring 14909

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  14921  zringinvg  14922  expghmap  14925  mulgghm2  14926  mulgrhm  14927  mulgrhm2  14928  znlidl  14952  znbas  14962  znzrh2  14964  znzrhfo  14966  zndvds  14967  znf1o  14969  znidom  14975  znidomb  14976  znunit  14977  znrrg  14978  lgseisenlem3  16174  lgseisenlem4  16175