Theorem zringbas 14433

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zring 14428	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring = (ℂfld ↾s ℤ))
3		cnfldbas 14397	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
5		cnfldex 14396	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ V)
7		zsscn 9400	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤ ⊆ ℂ)
9	2, 4, 6, 8	ressbas2d 12975	. 2 ⊢ (⊤ → ℤ = (Base‘ℤring))
10	9	mptru 1382	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℤcz 9392  Basecbs 12907   ↾_s cress 12908  ℂ_fldccnfld 14393  ℤ_ringczring 14427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-uz 9669  df-rp 9796  df-fz 10151  df-cj 11228  df-abs 11385  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-starv 12999  df-tset 13003  df-ple 13004  df-ds 13006  df-unif 13007  df-topgen 13167  df-bl 14383  df-mopn 14384  df-fg 14386  df-metu 14387  df-cnfld 14394  df-zring 14428

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  14440  zringinvg  14441  expghmap  14444  mulgghm2  14445  mulgrhm  14446  mulgrhm2  14447  znlidl  14471  znbas  14481  znzrh2  14483  znzrhfo  14485  zndvds  14486  znf1o  14488  znidom  14494  znidomb  14495  znunit  14496  znrrg  14497  lgseisenlem3  15624  lgseisenlem4  15625