Theorem znidom 14733

Description: The ℤ/nℤ structure is an integral domain when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidom	|- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )

Proof of Theorem znidom

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12743	. . . 4 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
2		nnnn0 9452	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. NN0 )
4		zntos.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
5	4	zncrng 14721	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. CRing )
7		crngring 14083	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
8	1, 2, 5, 7	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. Prime -> Y e. Ring )
9		hash2 11120	. . . . . 6 |- (♯ ` 2o ) = 2
10		prmuz2 12764	. . . . . . . 8 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11		eluzle 9811	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> 2 <_ N )
13		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
14	4, 13	znhash 14732	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
16	12, 15	breqtrrd 4121	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> 2 <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
17	9, 16	eqbrtrid 4128	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
18		2onn 6732	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
19		nnfi 7102	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 2o e. Fin
21	4, 13	znfi 14731	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
22		fihashdom 11110	. . . . . . 7 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. Fin ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	20, 21, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
25	17, 24	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. Prime -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
26	13	isnzr2 14260	. . . 4 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
27	8, 25, 26	sylanbrc 417	. . 3 |- ( N e. Prime -> Y e. NzRing )
28		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
29	4, 13, 28	znzrhfo 14724	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
30	3, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
31		foelrn 5903	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
32		foelrn 5903	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) -> E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) )
33	31, 32	anim12dan 604	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
34	30, 33	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
35		reeanv 2704	. . . . . . 7 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) <-> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
36		euclemma 12779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
37	36	3expb 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
38	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> Y e. Ring )
39	28	zrhrhm 14699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
41		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> z e. ZZ )
42		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> w e. ZZ )
43		zringbas 14672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
44		zringmulr 14675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x. = ( .r ` ℤring )
45		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
46	43, 44, 45	rhmmul 14240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
48	47	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
49		zmulcl 9576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( z x. w ) e. ZZ )
50		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
51	4, 28, 50	zndvds0 14726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z x. w ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
52	3, 49, 51	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
53	48, 52	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
54	4, 28, 50	zndvds0 14726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
55	3, 41, 54	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
56	4, 28, 50	zndvds0 14726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
57	3, 42, 56	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
58	55, 57	orbi12d 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
59	37, 53, 58	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
61		oveq12 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( x ( .r ` Y ) y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
62	61	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) ) )
64	63	orbi1d 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
65		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( y = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) )
66	65	orbi2d 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
67	64, 66	sylan9bb 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
68	62, 67	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) <-> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
69	60, 68	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
70	69	rexlimdvva 2659	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
71	35, 70	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
72	71	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	34, 72	syldan 282	. . . 4 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
74	73	ralrimivva 2615	. . 3 |- ( N e. Prime -> A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
75	13, 45, 50	isdomn 14345	. . 3 |- ( Y e. Domn <-> ( Y e. NzRing /\ A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
76	27, 74, 75	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. Domn )
77		isidom 14352	. 2 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
78	6, 76, 77	sylanbrc 417	1 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   omcom 4694   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   2oc2o 6619   ~<_ cdom 6951   Fincfn 6952   x. cmul 8080   <_ cle 8258   NNcn 9186   2c2 9237   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798  ♯chash 11081   || cdvds 12409   Primecprime 12740   Basecbs 13143   .rcmulr 13222   0gc0g 13400   Ringcrg 14071   CRingccrg 14072   RingHom crh 14226  NzRingcnzr 14255  Domncdomn 14332  IDomncidom 14333  ℤ_ringczring 14666   ZRHomczrh 14687  ℤ/nℤczn 14689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6454  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-gcd 12586  df-prm 12741  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-starv 13236  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-unif 13244  df-0g 13402  df-topgen 13404  df-iimas 13446  df-qus 13447  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-mhm 13603  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-sbg 13649  df-mulg 13768  df-subg 13818  df-nsg 13819  df-eqg 13820  df-ghm 13889  df-cmn 13934  df-abl 13935  df-mgp 13996  df-rng 14008  df-ur 14035  df-srg 14039  df-ring 14073  df-cring 14074  df-oppr 14143  df-dvdsr 14164  df-rhm 14228  df-nzr 14256  df-subrg 14295  df-domn 14335  df-idom 14336  df-lmod 14365  df-lssm 14429  df-lsp 14463  df-sra 14511  df-rgmod 14512  df-lidl 14545  df-rsp 14546  df-2idl 14576  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-fg 14625  df-metu 14626  df-cnfld 14633  df-zring 14667  df-zrh 14690  df-zn 14692

This theorem is referenced by:  znidomb  14734  lgseisenlem3  15871