Theorem znidom 14797

Description: The ℤ/nℤ structure is an integral domain when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidom	|- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )

Proof of Theorem znidom

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12803	. . . 4 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
2		nnnn0 9502	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. NN0 )
4		zntos.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
5	4	zncrng 14785	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. CRing )
7		crngring 14144	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
8	1, 2, 5, 7	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. Prime -> Y e. Ring )
9		hash2 11175	. . . . . 6 |- (♯ ` 2o ) = 2
10		prmuz2 12824	. . . . . . . 8 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11		eluzle 9865	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> 2 <_ N )
13		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
14	4, 13	znhash 14796	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
16	12, 15	breqtrrd 4136	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> 2 <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
17	9, 16	eqbrtrid 4143	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
18		2onn 6753	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
19		nnfi 7126	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 2o e. Fin
21	4, 13	znfi 14795	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
22		fihashdom 11165	. . . . . . 7 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. Fin ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	20, 21, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
25	17, 24	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. Prime -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
26	13	isnzr2 14321	. . . 4 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
27	8, 25, 26	sylanbrc 417	. . 3 |- ( N e. Prime -> Y e. NzRing )
28		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
29	4, 13, 28	znzrhfo 14788	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
30	3, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
31		foelrn 5924	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
32		foelrn 5924	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) -> E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) )
33	31, 32	anim12dan 604	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
34	30, 33	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
35		reeanv 2713	. . . . . . 7 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) <-> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
36		euclemma 12839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
37	36	3expb 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
38	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> Y e. Ring )
39	28	zrhrhm 14763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
41		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> z e. ZZ )
42		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> w e. ZZ )
43		zringbas 14736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
44		zringmulr 14739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x. = ( .r ` ℤring )
45		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
46	43, 44, 45	rhmmul 14301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
48	47	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
49		zmulcl 9630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( z x. w ) e. ZZ )
50		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
51	4, 28, 50	zndvds0 14790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z x. w ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
52	3, 49, 51	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
53	48, 52	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
54	4, 28, 50	zndvds0 14790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
55	3, 41, 54	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
56	4, 28, 50	zndvds0 14790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
57	3, 42, 56	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
58	55, 57	orbi12d 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
59	37, 53, 58	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
61		oveq12 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( x ( .r ` Y ) y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
62	61	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63		eqeq1 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) ) )
64	63	orbi1d 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
65		eqeq1 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( y = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) )
66	65	orbi2d 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
67	64, 66	sylan9bb 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
68	62, 67	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) <-> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
69	60, 68	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
70	69	rexlimdvva 2668	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
71	35, 70	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
72	71	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	34, 72	syldan 282	. . . 4 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
74	73	ralrimivva 2624	. . 3 |- ( N e. Prime -> A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
75	13, 45, 50	isdomn 14407	. . 3 |- ( Y e. Domn <-> ( Y e. NzRing /\ A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
76	27, 74, 75	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. Domn )
77		isidom 14414	. 2 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
78	6, 76, 77	sylanbrc 417	1 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   class class class wbr 4108   omcom 4711   -onto->wfo 5349   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   2oc2o 6640   ~<_ cdom 6973   Fincfn 6974   x. cmul 8131   <_ cle 8308   NNcn 9236   2c2 9287   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852  ♯chash 11136   || cdvds 12469   Primecprime 12800   Basecbs 13204   .rcmulr 13283   0gc0g 13461   Ringcrg 14132   CRingccrg 14133   RingHom crh 14287  NzRingcnzr 14316  Domncdomn 14393  IDomncidom 14394  ℤ_ringczring 14730   ZRHomczrh 14751  ℤ/nℤczn 14753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246  ax-addf 8248  ax-mulf 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-prm 12801  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-starv 13297  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-unif 13305  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-iimas 13507  df-qus 13508  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-mhm 13664  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-sbg 13710  df-mulg 13829  df-subg 13879  df-nsg 13880  df-eqg 13881  df-ghm 13950  df-cmn 13995  df-abl 13996  df-mgp 14057  df-rng 14069  df-ur 14096  df-srg 14100  df-ring 14134  df-cring 14135  df-oppr 14204  df-dvdsr 14225  df-rhm 14289  df-nzr 14317  df-subrg 14356  df-domn 14396  df-idom 14397  df-lmod 14429  df-lssm 14493  df-lsp 14527  df-sra 14575  df-rgmod 14576  df-lidl 14609  df-rsp 14610  df-2idl 14640  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-fg 14689  df-metu 14690  df-cnfld 14697  df-zring 14731  df-zrh 14754  df-zn 14756

This theorem is referenced by:  znidomb  14798  lgseisenlem3  15937