Theorem znidom 14145

Description: The ℤ/nℤ structure is an integral domain when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidom	|- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )

Proof of Theorem znidom

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12248	. . . 4 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
2		nnnn0 9247	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. NN0 )
4		zntos.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
5	4	zncrng 14133	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. CRing )
7		crngring 13504	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
8	1, 2, 5, 7	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. Prime -> Y e. Ring )
9		hash2 10883	. . . . . 6 |- (♯ ` 2o ) = 2
10		prmuz2 12269	. . . . . . . 8 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11		eluzle 9604	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> 2 <_ N )
13		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
14	4, 13	znhash 14144	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
16	12, 15	breqtrrd 4057	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> 2 <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
17	9, 16	eqbrtrid 4064	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
18		2onn 6574	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
19		nnfi 6928	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 2o e. Fin
21	4, 13	znfi 14143	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
22		fihashdom 10874	. . . . . . 7 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. Fin ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	20, 21, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
25	17, 24	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. Prime -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
26	13	isnzr2 13680	. . . 4 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
27	8, 25, 26	sylanbrc 417	. . 3 |- ( N e. Prime -> Y e. NzRing )
28		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
29	4, 13, 28	znzrhfo 14136	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
30	3, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
31		foelrn 5795	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
32		foelrn 5795	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) -> E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) )
33	31, 32	anim12dan 600	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
34	30, 33	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
35		reeanv 2664	. . . . . . 7 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) <-> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
36		euclemma 12284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
37	36	3expb 1206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
38	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> Y e. Ring )
39	28	zrhrhm 14111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
41		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> z e. ZZ )
42		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> w e. ZZ )
43		zringbas 14084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
44		zringmulr 14087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x. = ( .r ` ℤring )
45		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
46	43, 44, 45	rhmmul 13660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
48	47	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
49		zmulcl 9370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( z x. w ) e. ZZ )
50		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
51	4, 28, 50	zndvds0 14138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z x. w ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
52	3, 49, 51	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
53	48, 52	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
54	4, 28, 50	zndvds0 14138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
55	3, 41, 54	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
56	4, 28, 50	zndvds0 14138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
57	3, 42, 56	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
58	55, 57	orbi12d 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
59	37, 53, 58	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
61		oveq12 5927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( x ( .r ` Y ) y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
62	61	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63		eqeq1 2200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) ) )
64	63	orbi1d 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
65		eqeq1 2200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( y = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) )
66	65	orbi2d 791	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
67	64, 66	sylan9bb 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
68	62, 67	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) <-> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
69	60, 68	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
70	69	rexlimdvva 2619	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
71	35, 70	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
72	71	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	34, 72	syldan 282	. . . 4 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
74	73	ralrimivva 2576	. . 3 |- ( N e. Prime -> A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
75	13, 45, 50	isdomn 13765	. . 3 |- ( Y e. Domn <-> ( Y e. NzRing /\ A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
76	27, 74, 75	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. Domn )
77		isidom 13772	. 2 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
78	6, 76, 77	sylanbrc 417	1 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   omcom 4622   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   2oc2o 6463   ~<_ cdom 6793   Fincfn 6794   x. cmul 7877   <_ cle 8055   NNcn 8982   2c2 9033   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592  ♯chash 10846   || cdvds 11930   Primecprime 12245   Basecbs 12618   .rcmulr 12696   0gc0g 12867   Ringcrg 13492   CRingccrg 13493   RingHom crh 13646  NzRingcnzr 13675  Domncdomn 13752  IDomncidom 13753  ℤ_ringczring 14078   ZRHomczrh 14099  ℤ/nℤczn 14101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-map 6704  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-ple 12715  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mulg 13190  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242  df-ghm 13311  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-cring 13495  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-rhm 13648  df-nzr 13676  df-subrg 13715  df-domn 13755  df-idom 13756  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-rsp 13966  df-2idl 13996  df-icnfld 14048  df-zring 14079  df-zrh 14102  df-zn 14104

This theorem is referenced by:  znidomb  14146  lgseisenlem3  15188