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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > znidom | Unicode version |
Description: The
ℤ/nℤ structure is an integral domain when ![]() |
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zntos.y |
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znidom |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prmnn 12235 |
. . . 4
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2 | nnnn0 9237 |
. . . 4
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
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4 | zntos.y |
. . . 4
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5 | 4 | zncrng 14104 |
. . 3
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6 | 3, 5 | syl 14 |
. 2
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7 | crngring 13482 |
. . . . 5
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8 | 1, 2, 5, 7 | 4syl 18 |
. . . 4
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9 | hash2 10870 |
. . . . . 6
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10 | prmuz2 12256 |
. . . . . . . 8
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11 | eluzle 9594 |
. . . . . . . 8
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12 | 10, 11 | syl 14 |
. . . . . . 7
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13 | eqid 2193 |
. . . . . . . . 9
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14 | 4, 13 | znhash 14115 |
. . . . . . . 8
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15 | 1, 14 | syl 14 |
. . . . . . 7
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16 | 12, 15 | breqtrrd 4057 |
. . . . . 6
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17 | 9, 16 | eqbrtrid 4064 |
. . . . 5
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18 | 2onn 6565 |
. . . . . . . 8
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19 | nnfi 6919 |
. . . . . . . 8
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20 | 18, 19 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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21 | 4, 13 | znfi 14114 |
. . . . . . 7
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22 | fihashdom 10861 |
. . . . . . 7
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23 | 20, 21, 22 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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24 | 1, 23 | syl 14 |
. . . . 5
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25 | 17, 24 | mpbid 147 |
. . . 4
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26 | 13 | isnzr2 13658 |
. . . 4
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27 | 8, 25, 26 | sylanbrc 417 |
. . 3
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28 | eqid 2193 |
. . . . . . . 8
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29 | 4, 13, 28 | znzrhfo 14107 |
. . . . . . 7
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30 | 3, 29 | syl 14 |
. . . . . 6
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31 | foelrn 5787 |
. . . . . . 7
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32 | foelrn 5787 |
. . . . . . 7
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33 | 31, 32 | anim12dan 600 |
. . . . . 6
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34 | 30, 33 | sylan 283 |
. . . . 5
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35 | reeanv 2664 |
. . . . . . 7
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36 | euclemma 12271 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 36 | 3expb 1206 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 8 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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39 | 28 | zrhrhm 14082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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41 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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42 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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43 | zringbas 14056 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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44 | zringmulr 14059 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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45 | eqid 2193 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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46 | 43, 44, 45 | rhmmul 13638 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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47 | 40, 41, 42, 46 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 47 | eqeq1d 2202 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | zmulcl 9360 |
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50 | eqid 2193 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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51 | 4, 28, 50 | zndvds0 14109 |
. . . . . . . . . . . . 13
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52 | 3, 49, 51 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 48, 52 | bitr3d 190 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 4, 28, 50 | zndvds0 14109 |
. . . . . . . . . . . . 13
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55 | 3, 41, 54 | syl2an2r 595 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | 4, 28, 50 | zndvds0 14109 |
. . . . . . . . . . . . 13
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57 | 3, 42, 56 | syl2an2r 595 |
. . . . . . . . . . . 12
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58 | 55, 57 | orbi12d 794 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | 37, 53, 58 | 3bitr4d 220 |
. . . . . . . . . 10
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60 | 59 | biimpd 144 |
. . . . . . . . 9
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61 | oveq12 5919 |
. . . . . . . . . . 11
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62 | 61 | eqeq1d 2202 |
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63 | eqeq1 2200 |
. . . . . . . . . . . 12
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64 | 63 | orbi1d 792 |
. . . . . . . . . . 11
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65 | eqeq1 2200 |
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66 | 65 | orbi2d 791 |
. . . . . . . . . . 11
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67 | 64, 66 | sylan9bb 462 |
. . . . . . . . . 10
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68 | 62, 67 | imbi12d 234 |
. . . . . . . . 9
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69 | 60, 68 | syl5ibrcom 157 |
. . . . . . . 8
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70 | 69 | rexlimdvva 2619 |
. . . . . . 7
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71 | 35, 70 | biimtrrid 153 |
. . . . . 6
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72 | 71 | imp 124 |
. . . . 5
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73 | 34, 72 | syldan 282 |
. . . 4
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74 | 73 | ralrimivva 2576 |
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75 | 13, 45, 50 | isdomn 13743 |
. . 3
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76 | 27, 74, 75 | sylanbrc 417 |
. 2
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77 | isidom 13750 |
. 2
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78 | 6, 76, 77 | sylanbrc 417 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4462 ax-setind 4565 ax-iinf 4616 ax-cnex 7953 ax-resscn 7954 ax-1cn 7955 ax-1re 7956 ax-icn 7957 ax-addcl 7958 ax-addrcl 7959 ax-mulcl 7960 ax-mulrcl 7961 ax-addcom 7962 ax-mulcom 7963 ax-addass 7964 ax-mulass 7965 ax-distr 7966 ax-i2m1 7967 ax-0lt1 7968 ax-1rid 7969 ax-0id 7970 ax-rnegex 7971 ax-precex 7972 ax-cnre 7973 ax-pre-ltirr 7974 ax-pre-ltwlin 7975 ax-pre-lttrn 7976 ax-pre-apti 7977 ax-pre-ltadd 7978 ax-pre-mulgt0 7979 ax-pre-mulext 7980 ax-arch 7981 ax-caucvg 7982 ax-addf 7984 ax-mulf 7985 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-tp 3626 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4322 df-po 4325 df-iso 4326 df-iord 4395 df-on 4397 df-ilim 4398 df-suc 4400 df-iom 4619 df-xp 4661 df-rel 4662 df-cnv 4663 df-co 4664 df-dm 4665 df-rn 4666 df-res 4667 df-ima 4668 df-iota 5207 df-fun 5248 df-fn 5249 df-f 5250 df-f1 5251 df-fo 5252 df-f1o 5253 df-fv 5254 df-riota 5865 df-ov 5913 df-oprab 5914 df-mpo 5915 df-1st 6184 df-2nd 6185 df-tpos 6289 df-recs 6349 df-irdg 6414 df-frec 6435 df-1o 6460 df-2o 6461 df-oadd 6464 df-er 6578 df-ec 6580 df-qs 6584 df-map 6695 df-en 6786 df-dom 6787 df-fin 6788 df-sup 7033 df-pnf 8046 df-mnf 8047 df-xr 8048 df-ltxr 8049 df-le 8050 df-sub 8182 df-neg 8183 df-reap 8584 df-ap 8591 df-div 8682 df-inn 8973 df-2 9031 df-3 9032 df-4 9033 df-5 9034 df-6 9035 df-7 9036 df-8 9037 df-9 9038 df-n0 9231 df-z 9308 df-dec 9439 df-uz 9583 df-q 9675 df-rp 9710 df-fz 10065 df-fzo 10199 df-fl 10329 df-mod 10384 df-seqfrec 10509 df-exp 10597 df-ihash 10834 df-cj 10973 df-re 10974 df-im 10975 df-rsqrt 11129 df-abs 11130 df-dvds 11918 df-gcd 12067 df-prm 12233 df-struct 12607 df-ndx 12608 df-slot 12609 df-base 12611 df-sets 12612 df-iress 12613 df-plusg 12695 df-mulr 12696 df-starv 12697 df-sca 12698 df-vsca 12699 df-ip 12700 df-ple 12702 df-0g 12856 df-iimas 12872 df-qus 12873 df-mgm 12926 df-sgrp 12972 df-mnd 12985 df-mhm 13018 df-grp 13062 df-minusg 13063 df-sbg 13064 df-mulg 13177 df-subg 13226 df-nsg 13227 df-eqg 13228 df-ghm 13297 df-cmn 13342 df-abl 13343 df-mgp 13395 df-rng 13407 df-ur 13434 df-srg 13438 df-ring 13472 df-cring 13473 df-oppr 13542 df-dvdsr 13563 df-rhm 13626 df-nzr 13654 df-subrg 13693 df-domn 13733 df-idom 13734 df-lmod 13763 df-lssm 13827 df-lsp 13861 df-sra 13909 df-rgmod 13910 df-lidl 13943 df-rsp 13944 df-2idl 13974 df-icnfld 14026 df-zring 14051 df-zrh 14073 df-zn 14075 |
This theorem is referenced by: znidomb 14117 |
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