Theorem znidom 14975

Description: The ℤ/nℤ structure is an integral domain when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidom	|- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )

Proof of Theorem znidom

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12871	. . . 4 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
2		nnnn0 9553	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. NN0 )
4		zntos.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
5	4	zncrng 14963	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. CRing )
7		crngring 14295	. . . . 5 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
8	1, 2, 5, 7	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. Prime -> Y e. Ring )
9		hash2 11236	. . . . . 6 |- (♯ ` 2o ) = 2
10		prmuz2 12892	. . . . . . . 8 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11		eluzle 9917	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> 2 <_ N )
13		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
14	4, 13	znhash 14974	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> (♯ ` ( Base ` Y ) ) = N )
16	12, 15	breqtrrd 4156	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> 2 <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
17	9, 16	eqbrtrid 4163	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) )
18		2onn 6788	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
19		nnfi 7168	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 2o e. Fin
21	4, 13	znfi 14973	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
22		fihashdom 11226	. . . . . . 7 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. Fin ) -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	20, 21, 22	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> ( (♯ ` 2o ) <_ (♯ ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
25	17, 24	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. Prime -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
26	13	isnzr2 14474	. . . 4 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
27	8, 25, 26	sylanbrc 421	. . 3 |- ( N e. Prime -> Y e. NzRing )
28		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
29	4, 13, 28	znzrhfo 14966	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
30	3, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
31		foelrn 5952	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
32		foelrn 5952	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) -> E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) )
33	31, 32	anim12dan 608	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
34	30, 33	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
35		reeanv 2721	. . . . . . 7 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) <-> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
36		euclemma 12907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
37	36	3expb 1235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
38	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> Y e. Ring )
39	28	zrhrhm 14941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
41		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> z e. ZZ )
42		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> w e. ZZ )
43		zringbas 14914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
44		zringmulr 14917	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x. = ( .r ` ℤring )
45		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
46	43, 44, 45	rhmmul 14454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
48	47	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
49		zmulcl 9681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( z x. w ) e. ZZ )
50		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
51	4, 28, 50	zndvds0 14968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z x. w ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
52	3, 49, 51	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
53	48, 52	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
54	4, 28, 50	zndvds0 14968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
55	3, 41, 54	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
56	4, 28, 50	zndvds0 14968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
57	3, 42, 56	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
58	55, 57	orbi12d 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
59	37, 53, 58	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
61		oveq12 6088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( x ( .r ` Y ) y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
62	61	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) ) )
64	63	orbi1d 803	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
65		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( y = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) )
66	65	orbi2d 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
67	64, 66	sylan9bb 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
68	62, 67	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) <-> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
69	60, 68	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
70	69	rexlimdvva 2676	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
71	35, 70	biimtrrid 153	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
72	71	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	34, 72	syldan 282	. . . 4 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
74	73	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( N e. Prime -> A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
75	13, 45, 50	isdomn 14561	. . 3 |- ( Y e. Domn <-> ( Y e. NzRing /\ A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
76	27, 74, 75	sylanbrc 421	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. Domn )
77		isidom 14568	. 2 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
78	6, 76, 77	sylanbrc 421	1 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4128   omcom 4735   -onto->wfo 5373   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   2oc2o 6675   ~<_ cdom 7015   Fincfn 7016   x. cmul 8178   <_ cle 8355   NNcn 9287   2c2 9338   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904  ♯chash 11197   || cdvds 12537   Primecprime 12868   Basecbs 13335   .rcmulr 13415   0gc0g 13593   Ringcrg 14283   CRingccrg 14284   RingHom crh 14440  NzRingcnzr 14469  Domncdomn 14547  IDomncidom 14548  ℤ_ringczring 14908   ZRHomczrh 14929  ℤ/nℤczn 14931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-tpos 6510  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-iimas 13607  df-qus 13608  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mhm 13749  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-mulg 13906  df-subg 13956  df-nsg 13957  df-eqg 13958  df-ghm 14027  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-cring 14286  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-rhm 14442  df-nzr 14470  df-subrg 14510  df-domn 14550  df-idom 14551  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-lsp 14707  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-rsp 14790  df-2idl 14820  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-zring 14909  df-zrh 14932  df-zn 14934

This theorem is referenced by:  znidomb  14976  lgseisenlem3  16174