Theorem 2ap0 9085

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	⊢ 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9062	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 9083	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8657	1 ⊢ 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4034  0cc0 7881   # cap 8610  2c2 9043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-2 9051

This theorem is referenced by:  2div2e1  9125  4d2e2  9153  halfre  9206  1mhlfehlf  9211  halfpm6th  9213  2muliap0  9217  halfcl  9219  rehalfcl  9220  half0  9221  2halves  9222  halfaddsub  9227  subhalfhalf  9228  xp1d2m1eqxm1d2  9246  div4p1lem1div2  9247  zneo  9429  nneoor  9430  nneo  9431  zeo  9433  zeo2  9434  halfthird  9601  qbtwnrelemcalc  10347  2tnp1ge0ge0  10393  fldiv4lem1div2  10399  zesq  10752  sqoddm1div8  10787  faclbnd2  10836  crre  11024  addcj  11058  resqrexlemover  11177  resqrexlemcalc1  11181  resqrexlemcvg  11186  maxabslemab  11373  max0addsup  11386  minabs  11403  bdtri  11407  arisum  11665  arisum2  11666  geo2sum  11681  geo2lim  11683  geoihalfsum  11689  ege2le3  11838  efgt0  11851  tanval2ap  11880  tanval3ap  11881  efi4p  11884  efival  11899  cosadd  11904  sinmul  11911  cosmul  11912  sin01bnd  11924  cos01bnd  11925  sin02gt0  11931  odd2np1  12040  mulsucdiv2z  12052  ltoddhalfle  12060  halfleoddlt  12061  nn0enne  12069  nn0o  12074  flodddiv4  12103  flodddiv4t2lthalf  12106  bitsp1e  12119  bitsp1o  12120  bitsinv1lem  12128  6lcm4e12  12265  sqrt2irrlem  12339  sqrt2irr  12340  pythagtriplem12  12454  pythagtriplem14  12456  pythagtriplem15  12457  pythagtriplem16  12458  pythagtriplem17  12459  4sqlem7  12563  4sqlem10  12566  4sqlem19  12588  oddennn  12619  evenennn  12620  maxcncf  14861  mincncf  14862  coscn  15016  sinhalfpilem  15037  cospi  15046  ptolemy  15070  sincosq3sgn  15074  sincosq4sgn  15075  sinq12gt0  15076  cosq23lt0  15079  coseq00topi  15081  tangtx  15084  sincos4thpi  15086  sincos6thpi  15088  sincos3rdpi  15089  pigt3  15090  abssinper  15092  coskpi  15094  logsqrt  15169  mersenne  15243  lgslem1  15251  gausslemma2dlem1a  15309  gausslemma2dlem1f1o  15311  gausslemma2dlem3  15314  lgseisenlem1  15321  lgseisenlem3  15323  lgsquadlem1  15328  lgsquadlem2  15329  lgsquad2lem1  15332  lgsquad2lem2  15333  2lgslem1a1  15337  2lgslem1a2  15338  2lgslem1b  15340  2lgslem1c  15341  2lgslem3a  15344  2lgslem3b  15345  2lgslem3d  15347  apdifflemr  15701  apdiff  15702