Theorem 2ap0 9142

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	⊢ 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9119	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 9140	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8714	1 ⊢ 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4048  0cc0 7938   # cap 8667  2c2 9100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-2 9108

This theorem is referenced by:  2div2e1  9182  4d2e2  9210  halfre  9263  1mhlfehlf  9268  halfpm6th  9270  2muliap0  9274  halfcl  9276  rehalfcl  9277  half0  9278  2halves  9279  halfaddsub  9284  subhalfhalf  9285  xp1d2m1eqxm1d2  9303  div4p1lem1div2  9304  zneo  9487  nneoor  9488  nneo  9489  zeo  9491  zeo2  9492  halfthird  9659  qbtwnrelemcalc  10411  2tnp1ge0ge0  10457  fldiv4lem1div2  10463  zesq  10816  sqoddm1div8  10851  faclbnd2  10900  crre  11218  addcj  11252  resqrexlemover  11371  resqrexlemcalc1  11375  resqrexlemcvg  11380  maxabslemab  11567  max0addsup  11580  minabs  11597  bdtri  11601  arisum  11859  arisum2  11860  geo2sum  11875  geo2lim  11877  geoihalfsum  11883  ege2le3  12032  efgt0  12045  tanval2ap  12074  tanval3ap  12075  efi4p  12078  efival  12093  cosadd  12098  sinmul  12105  cosmul  12106  sin01bnd  12118  cos01bnd  12119  sin02gt0  12125  odd2np1  12234  mulsucdiv2z  12246  ltoddhalfle  12254  halfleoddlt  12255  nn0enne  12263  nn0o  12268  flodddiv4  12297  flodddiv4t2lthalf  12300  bitsp1e  12313  bitsp1o  12314  bitsinv1lem  12322  6lcm4e12  12459  sqrt2irrlem  12533  sqrt2irr  12534  pythagtriplem12  12648  pythagtriplem14  12650  pythagtriplem15  12651  pythagtriplem16  12652  pythagtriplem17  12653  4sqlem7  12757  4sqlem10  12760  4sqlem19  12782  oddennn  12813  evenennn  12814  maxcncf  15137  mincncf  15138  coscn  15292  sinhalfpilem  15313  cospi  15322  ptolemy  15346  sincosq3sgn  15350  sincosq4sgn  15351  sinq12gt0  15352  cosq23lt0  15355  coseq00topi  15357  tangtx  15360  sincos4thpi  15362  sincos6thpi  15364  sincos3rdpi  15365  pigt3  15366  abssinper  15368  coskpi  15370  logsqrt  15445  mersenne  15519  lgslem1  15527  gausslemma2dlem1a  15585  gausslemma2dlem1f1o  15587  gausslemma2dlem3  15590  lgseisenlem1  15597  lgseisenlem3  15599  lgsquadlem1  15604  lgsquadlem2  15605  lgsquad2lem1  15608  lgsquad2lem2  15609  2lgslem1a1  15613  2lgslem1a2  15614  2lgslem1b  15616  2lgslem1c  15617  2lgslem3a  15620  2lgslem3b  15621  2lgslem3d  15623  apdifflemr  16101  apdiff  16102