Theorem 2ap0 9347

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	⊢ 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9324	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 9345	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8919	1 ⊢ 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4114  0cc0 8143   # cap 8872  2c2 9305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-2 9313

This theorem is referenced by:  2div2e1  9387  4d2e2  9415  halfre  9468  1mhlfehlf  9473  halfpm6th  9475  2muliap0  9479  halfcl  9481  rehalfcl  9482  half0  9483  2halves  9484  halfaddsub  9489  subhalfhalf  9490  xp1d2m1eqxm1d2  9508  div4p1lem1div2  9509  zneo  9697  nneoor  9698  nneo  9699  zeo  9701  zeo2  9702  halfthird  9869  qbtwnrelemcalc  10639  2tnp1ge0ge0  10685  fldiv4lem1div2  10691  zesq  11045  sqoddm1div8  11080  faclbnd2  11129  crre  11567  addcj  11601  resqrexlemover  11720  resqrexlemcalc1  11724  resqrexlemcvg  11729  maxabslemab  11916  max0addsup  11929  minabs  11946  bdtri  11950  arisum  12209  arisum2  12210  geo2sum  12225  geo2lim  12227  geoihalfsum  12233  ege2le3  12382  efgt0  12395  tanval2ap  12424  tanval3ap  12425  efi4p  12428  efival  12443  cosadd  12448  sinmul  12455  cosmul  12456  sin01bnd  12468  cos01bnd  12469  sin02gt0  12475  odd2np1  12584  mulsucdiv2z  12596  ltoddhalfle  12604  halfleoddlt  12605  nn0enne  12613  nn0o  12618  flodddiv4  12647  flodddiv4t2lthalf  12650  bitsp1e  12663  bitsp1o  12664  bitsinv1lem  12672  6lcm4e12  12809  sqrt2irrlem  12883  sqrt2irr  12884  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem15  13001  pythagtriplem16  13002  pythagtriplem17  13003  4sqlem7  13107  4sqlem10  13110  4sqlem19  13132  oddennn  13227  evenennn  13228  maxcncf  15592  mincncf  15593  coscn  15747  sinhalfpilem  15768  cospi  15777  ptolemy  15801  sincosq3sgn  15805  sincosq4sgn  15806  sinq12gt0  15807  cosq23lt0  15810  coseq00topi  15812  tangtx  15815  sincos4thpi  15817  sincos6thpi  15819  sincos3rdpi  15820  pigt3  15821  abssinper  15823  coskpi  15825  logsqrt  15900  mersenne  15977  lgslem1  15985  gausslemma2dlem1a  16043  gausslemma2dlem1f1o  16045  gausslemma2dlem3  16048  lgseisenlem1  16055  lgseisenlem3  16057  lgsquadlem1  16062  lgsquadlem2  16063  lgsquad2lem1  16066  lgsquad2lem2  16067  2lgslem1a1  16071  2lgslem1a2  16072  2lgslem1b  16074  2lgslem1c  16075  2lgslem3a  16078  2lgslem3b  16079  2lgslem3d  16081  apdifflemr  16943  apdiff  16944  qdiff  16945