Theorem 2ap0 9380

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	⊢ 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9357	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 9378	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8950	1 ⊢ 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4128  0cc0 8173   # cap 8903  2c2 9338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-2 9346

This theorem is referenced by:  2div2e1  9420  4d2e2  9448  halfre  9501  1mhlfehlf  9506  halfpm6th  9508  2muliap0  9512  halfcl  9514  rehalfcl  9515  half0  9516  2halves  9517  halfaddsub  9522  subhalfhalf  9523  xp1d2m1eqxm1d2  9541  div4p1lem1div2  9542  zneo  9730  nneoor  9731  nneo  9732  zeo  9734  zeo2  9735  halfthird  9902  qbtwnrelemcalc  10673  2tnp1ge0ge0  10719  fldiv4lem1div2  10725  zesq  11079  sqoddm1div8  11114  faclbnd2  11163  crre  11605  addcj  11639  sq01  11643  resqrexlemover  11759  resqrexlemcalc1  11763  resqrexlemcvg  11768  maxabslemab  11955  max0addsup  11968  minabs  11985  bdtri  11989  arisum  12248  arisum2  12249  geo2sum  12264  geo2lim  12266  geoihalfsum  12272  ege2le3  12421  efgt0  12434  tanval2ap  12463  tanval3ap  12464  efi4p  12467  efival  12482  cosadd  12487  sinmul  12494  cosmul  12495  sin01bnd  12507  cos01bnd  12508  sin02gt0  12514  odd2np1  12623  mulsucdiv2z  12635  ltoddhalfle  12643  halfleoddlt  12644  nn0enne  12652  nn0o  12657  flodddiv4  12686  flodddiv4t2lthalf  12689  bitsp1e  12702  bitsp1o  12703  bitsinv1lem  12711  6lcm4e12  12848  sqrt2irrlem  12922  sqrt2irr  12923  pythagtriplem12  13037  pythagtriplem14  13039  pythagtriplem15  13040  pythagtriplem16  13041  pythagtriplem17  13042  4sqlem7  13146  4sqlem10  13149  4sqlem19  13171  oddennn  13266  evenennn  13267  maxcncf  15699  mincncf  15700  coscn  15854  sinhalfpilem  15875  cospi  15884  ptolemy  15908  sincosq3sgn  15912  sincosq4sgn  15913  sinq12gt0  15914  cosq23lt0  15917  coseq00topi  15919  tangtx  15922  sincos4thpi  15924  sincos6thpi  15926  sincos3rdpi  15927  pigt3  15928  abssinper  15930  coskpi  15932  logsqrt  16008  log2tlbndlog2  16065  birthdaylog2  16073  mersenne  16094  lgslem1  16102  gausslemma2dlem1a  16160  gausslemma2dlem1f1o  16162  gausslemma2dlem3  16165  lgseisenlem1  16172  lgseisenlem3  16174  lgsquadlem1  16179  lgsquadlem2  16180  lgsquad2lem1  16183  lgsquad2lem2  16184  2lgslem1a1  16188  2lgslem1a2  16189  2lgslem1b  16191  2lgslem1c  16192  2lgslem3a  16195  2lgslem3b  16196  2lgslem3d  16198  apdifflemr  17070  apdiff  17071  qdiff  17072