Theorem 2ap0 8988

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	⊢ 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8965	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 8986	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8562	1 ⊢ 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4000  0cc0 7789   # cap 8515  2c2 8946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-2 8954

This theorem is referenced by:  2div2e1  9027  4d2e2  9055  halfre  9108  1mhlfehlf  9113  halfpm6th  9115  2muliap0  9119  halfcl  9121  rehalfcl  9122  half0  9123  2halves  9124  halfaddsub  9129  xp1d2m1eqxm1d2  9147  div4p1lem1div2  9148  zneo  9330  nneoor  9331  nneo  9332  zeo  9334  zeo2  9335  halfthird  9502  qbtwnrelemcalc  10229  2tnp1ge0ge0  10274  zesq  10611  sqoddm1div8  10646  faclbnd2  10693  crre  10837  addcj  10871  resqrexlemover  10990  resqrexlemcalc1  10994  resqrexlemcvg  10999  maxabslemab  11186  max0addsup  11199  minabs  11215  bdtri  11219  arisum  11477  arisum2  11478  geo2sum  11493  geo2lim  11495  geoihalfsum  11501  ege2le3  11650  efgt0  11663  tanval2ap  11692  tanval3ap  11693  efi4p  11696  efival  11711  cosadd  11716  sinmul  11723  cosmul  11724  sin01bnd  11736  cos01bnd  11737  sin02gt0  11742  odd2np1  11848  mulsucdiv2z  11860  ltoddhalfle  11868  halfleoddlt  11869  nn0enne  11877  nn0o  11882  flodddiv4  11909  flodddiv4t2lthalf  11912  6lcm4e12  12057  sqrt2irrlem  12131  sqrt2irr  12132  pythagtriplem12  12245  pythagtriplem14  12247  pythagtriplem15  12248  pythagtriplem16  12249  pythagtriplem17  12250  4sqlem7  12352  4sqlem10  12355  oddennn  12363  evenennn  12364  coscn  13824  sinhalfpilem  13845  cospi  13854  ptolemy  13878  sincosq3sgn  13882  sincosq4sgn  13883  sinq12gt0  13884  cosq23lt0  13887  coseq00topi  13889  tangtx  13892  sincos4thpi  13894  sincos6thpi  13896  sincos3rdpi  13897  pigt3  13898  abssinper  13900  coskpi  13902  logsqrt  13976  lgslem1  14034  apdifflemr  14418  apdiff  14419