Theorem 2ap0 9350

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	⊢ 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9327	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 9348	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8920	1 ⊢ 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4114  0cc0 8143   # cap 8873  2c2 9308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-2 9316

This theorem is referenced by:  2div2e1  9390  4d2e2  9418  halfre  9471  1mhlfehlf  9476  halfpm6th  9478  2muliap0  9482  halfcl  9484  rehalfcl  9485  half0  9486  2halves  9487  halfaddsub  9492  subhalfhalf  9493  xp1d2m1eqxm1d2  9511  div4p1lem1div2  9512  zneo  9700  nneoor  9701  nneo  9702  zeo  9704  zeo2  9705  halfthird  9872  qbtwnrelemcalc  10642  2tnp1ge0ge0  10688  fldiv4lem1div2  10694  zesq  11048  sqoddm1div8  11083  faclbnd2  11132  crre  11570  addcj  11604  sq01  11608  resqrexlemover  11724  resqrexlemcalc1  11728  resqrexlemcvg  11733  maxabslemab  11920  max0addsup  11933  minabs  11950  bdtri  11954  arisum  12213  arisum2  12214  geo2sum  12229  geo2lim  12231  geoihalfsum  12237  ege2le3  12386  efgt0  12399  tanval2ap  12428  tanval3ap  12429  efi4p  12432  efival  12447  cosadd  12452  sinmul  12459  cosmul  12460  sin01bnd  12472  cos01bnd  12473  sin02gt0  12479  odd2np1  12588  mulsucdiv2z  12600  ltoddhalfle  12608  halfleoddlt  12609  nn0enne  12617  nn0o  12622  flodddiv4  12651  flodddiv4t2lthalf  12654  bitsp1e  12667  bitsp1o  12668  bitsinv1lem  12676  6lcm4e12  12813  sqrt2irrlem  12887  sqrt2irr  12888  pythagtriplem12  13002  pythagtriplem14  13004  pythagtriplem15  13005  pythagtriplem16  13006  pythagtriplem17  13007  4sqlem7  13111  4sqlem10  13114  4sqlem19  13136  oddennn  13231  evenennn  13232  maxcncf  15610  mincncf  15611  coscn  15765  sinhalfpilem  15786  cospi  15795  ptolemy  15819  sincosq3sgn  15823  sincosq4sgn  15824  sinq12gt0  15825  cosq23lt0  15828  coseq00topi  15830  tangtx  15833  sincos4thpi  15835  sincos6thpi  15837  sincos3rdpi  15838  pigt3  15839  abssinper  15841  coskpi  15843  logsqrt  15918  mersenne  15995  lgslem1  16003  gausslemma2dlem1a  16061  gausslemma2dlem1f1o  16063  gausslemma2dlem3  16066  lgseisenlem1  16073  lgseisenlem3  16075  lgsquadlem1  16080  lgsquadlem2  16081  lgsquad2lem1  16084  lgsquad2lem2  16085  2lgslem1a1  16089  2lgslem1a2  16090  2lgslem1b  16092  2lgslem1c  16093  2lgslem3a  16096  2lgslem3b  16097  2lgslem3d  16099  apdifflemr  16971  apdiff  16972  qdiff  16973