Theorem 2ap0 9400

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	⊢ 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9377	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 9398	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8959	1 ⊢ 2 # 0

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4130  0cc0 8180   # cap 8912  2c2 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-2 9366

This theorem is used by:  2div2e1  9440  4d2e2  9470  halfre  9523  1mhlfehlf  9528  halfpm6th  9530  2muliap0  9534  halfcl  9536  rehalfcl  9537  half0  9538  2halves  9539  halfaddsub  9544  subhalfhalf  9545  xp1d2m1eqxm1d2  9563  div4p1lem1div2  9564  zneo  9752  nneoor  9753  nneo  9754  zeo  9756  zeo2  9757  halfthird  9929  qbtwnrelemcalc  10701  2tnp1ge0ge0  10750  fldiv4lem1div2  10756  zesq  11110  sqoddm1div8  11145  faclbnd2  11195  crre  11637  addcj  11671  sq01  11675  resqrexlemover  11791  resqrexlemcalc1  11795  resqrexlemcvg  11800  maxabslemab  11988  max0addsup  12001  minabs  12019  bdtri  12024  arisum  12283  arisum2  12284  geo2sum  12299  geo2lim  12301  geoihalfsum  12307  ege2le3  12456  efgt0  12469  tanval2ap  12498  tanval3ap  12499  efi4p  12502  efival  12517  cosadd  12522  sinmul  12529  cosmul  12530  sin01bnd  12542  cos01bnd  12543  sin02gt0  12549  odd2np1  12658  mulsucdiv2z  12670  ltoddhalfle  12678  halfleoddlt  12679  nn0enne  12687  nn0o  12692  flodddiv4  12721  flodddiv4t2lthalf  12724  bitsp1e  12737  bitsp1o  12738  bitsinv1lem  12746  6lcm4e12  12883  sqrt2irrlem  12958  sqrt2irr  12959  pythagtriplem12  13076  pythagtriplem14  13078  pythagtriplem15  13079  pythagtriplem16  13080  pythagtriplem17  13081  4sqlem7  13185  4sqlem10  13188  4sqlem19  13210  oddennn  13334  evenennn  13335  maxcncf  15768  mincncf  15769  coscn  15923  sinhalfpilem  15945  cospi  15954  ptolemy  15978  sincosq3sgn  15982  sincosq4sgn  15983  sinq12gt0  15984  cosq23lt0  15987  coseq00topi  15989  tangtx  15992  sincos4thpi  15994  sincos6thpi  15996  sincos3rdpi  15997  pigt3  15998  abssinper  16000  coskpi  16002  logsqrt  16081  log2tlbndlog2  16142  birthdaylog2  16150  ppiqub  16215  chtqub  16218  mersenne  16219  bcmax  16227  bclbnd  16229  lgslem1  16241  gausslemma2dlem1a  16299  gausslemma2dlem1f1o  16301  gausslemma2dlem3  16304  lgseisenlem1  16311  lgseisenlem3  16313  lgsquadlem1  16318  lgsquadlem2  16319  lgsquad2lem1  16322  lgsquad2lem2  16323  2lgslem1a1  16327  2lgslem1a2  16328  2lgslem1b  16330  2lgslem1c  16331  2lgslem3a  16334  2lgslem3b  16335  2lgslem3d  16337  apdifflemr  17218  apdiff  17219  qdiff  17220