Theorem 2ap0 8806

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	⊢ 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8783	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 8804	. 2 ⊢ 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8383	1 ⊢ 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 3924  0cc0 7613   # cap 8336  2c2 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-2 8772

This theorem is referenced by:  2div2e1  8845  4d2e2  8873  halfre  8926  1mhlfehlf  8931  halfpm6th  8933  2muliap0  8937  halfcl  8939  rehalfcl  8940  half0  8941  2halves  8942  halfaddsub  8947  xp1d2m1eqxm1d2  8965  div4p1lem1div2  8966  zneo  9145  nneoor  9146  nneo  9147  zeo  9149  zeo2  9150  halfthird  9317  qbtwnrelemcalc  10026  2tnp1ge0ge0  10067  zesq  10403  sqoddm1div8  10437  faclbnd2  10481  crre  10622  addcj  10656  resqrexlemover  10775  resqrexlemcalc1  10779  resqrexlemcvg  10784  maxabslemab  10971  max0addsup  10984  minabs  11000  bdtri  11004  arisum  11260  arisum2  11261  geo2sum  11276  geo2lim  11278  geoihalfsum  11284  ege2le3  11366  efgt0  11379  tanval2ap  11409  tanval3ap  11410  efi4p  11413  efival  11428  cosadd  11433  sinmul  11440  cosmul  11441  sin01bnd  11453  cos01bnd  11454  sin02gt0  11459  odd2np1  11559  mulsucdiv2z  11571  ltoddhalfle  11579  halfleoddlt  11580  nn0enne  11588  nn0o  11593  flodddiv4  11620  flodddiv4t2lthalf  11623  6lcm4e12  11757  sqrt2irrlem  11828  sqrt2irr  11829  oddennn  11894  evenennn  11895  coscn  12848  sinhalfpilem  12861  cospi  12870  ptolemy  12894  sincosq3sgn  12898  sincosq4sgn  12899  sinq12gt0  12900  cosq23lt0  12903  coseq00topi  12905  tangtx  12908  sincos4thpi  12910  sincos6thpi  12912  sincos3rdpi  12913  pigt3  12914  abssinper  12916  coskpi  12918