Theorem halfpm6th 9327

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9181	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 8088	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 9177	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3re 9180	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		3pos 9200	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
6	4, 5	gt0ap0ii 8771	. . . . . 6 ⊢ 3 # 0
7		2ap0 9199	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
8	1, 1, 2, 3, 6, 7	divmuldivapi 8915	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
9	1, 6	dividapi 8888	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
10	9	oveq1i 6010	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11		halfcn 9321	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	mullidi 8145	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
13	10, 12	eqtri 2250	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	1	mulridi 8144	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
15		3t2e6 9263	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
16	14, 15	oveq12i 6012	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
17	8, 13, 16	3eqtr3i 2258	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
18	17	oveq1i 6010	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19		6cn 9188	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
20		6re 9187	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
21		6pos 9207	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
22	20, 21	gt0ap0ii 8771	. . . . 5 ⊢ 6 # 0
23	19, 22	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24		divsubdirap 8851	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
25	1, 2, 23, 24	mp3an 1371	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26		3m1e2 9226	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
27	26	oveq1i 6010	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
28	3	mullidi 8145	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
29	28, 15	oveq12i 6012	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
30	3, 7	dividapi 8888	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
31	30	oveq2i 6011	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
32	2, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 8915	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
33	1, 6	recclapi 8885	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
34	33	mulridi 8144	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
35	31, 32, 34	3eqtr3i 2258	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
36	27, 29, 35	3eqtr2i 2256	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
37	18, 25, 36	3eqtr2i 2256	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
38	1, 2, 19, 22	divdirapi 8912	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39		df-4 9167	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40	39	oveq1i 6010	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
41	17	oveq1i 6010	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
42	38, 40, 41	3eqtr4ri 2261	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43		2t2e4 9261	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43, 15	oveq12i 6012	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
45	30	oveq2i 6011	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
46	3, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 8915	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
47	3, 1, 6	divclapi 8897	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
48	47	mulridi 8144	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
49	45, 46, 48	3eqtr3i 2258	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
50	42, 44, 49	3eqtr2i 2256	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
51	37, 50	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000   − cmin 8313   # cap 8724   / cdiv 8815  2c2 9157  3c3 9158  4c4 9159  6c6 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169

This theorem is referenced by:  cos01bnd  12264