Theorem halfpm6th 9525

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9379	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 8272	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 9375	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3re 9378	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		3pos 9398	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
6	4, 5	gt0ap0ii 8956	. . . . . 6 ⊢ 3 # 0
7		2ap0 9397	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
8	1, 1, 2, 3, 6, 7	divmuldivapi 9102	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
9	1, 6	dividapi 9075	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
10	9	oveq1i 6095	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11		halfcn 9519	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	mullidi 8329	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
13	10, 12	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	1	mulridi 8328	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
15		3t2e6 9461	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
16	14, 15	oveq12i 6097	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
17	8, 13, 16	3eqtr3i 2267	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
18	17	oveq1i 6095	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19		6cn 9386	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
20		6re 9385	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
21		6pos 9405	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
22	20, 21	gt0ap0ii 8956	. . . . 5 ⊢ 6 # 0
23	19, 22	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24		divsubdirap 9038	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
25	1, 2, 23, 24	mp3an 1378	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26		3m1e2 9424	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
27	26	oveq1i 6095	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
28	3	mullidi 8329	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
29	28, 15	oveq12i 6097	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
30	3, 7	dividapi 9075	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
31	30	oveq2i 6096	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
32	2, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 9102	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
33	1, 6	recclapi 9072	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
34	33	mulridi 8328	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
35	31, 32, 34	3eqtr3i 2267	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
36	27, 29, 35	3eqtr2i 2265	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
37	18, 25, 36	3eqtr2i 2265	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
38	1, 2, 19, 22	divdirapi 9099	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39		df-4 9365	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40	39	oveq1i 6095	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
41	17	oveq1i 6095	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
42	38, 40, 41	3eqtr4ri 2270	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43		2t2e4 9459	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43, 15	oveq12i 6097	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
45	30	oveq2i 6096	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
46	3, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 9102	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
47	3, 1, 6	divclapi 9084	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
48	47	mulridi 8328	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
49	45, 46, 48	3eqtr3i 2267	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
50	42, 44, 49	3eqtr2i 2265	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
51	37, 50	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   − cmin 8497   # cap 8909   / cdiv 9002  2c2 9355  3c3 9356  4c4 9357  6c6 9359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367

This theorem is used by:  cos01bnd  12525