ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfpm6th GIF version

Theorem halfpm6th 9059
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 8914 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 7828 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 8910 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3re 8913 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
5 3pos 8933 . . . . . . 7 0 < 3
64, 5gt0ap0ii 8508 . . . . . 6 3 # 0
7 2ap0 8932 . . . . . 6 2 # 0
81, 1, 2, 3, 6, 7divmuldivapi 8650 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
91, 6dividapi 8623 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
109oveq1i 5837 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11 halfcn 9053 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1211mulid2i 7884 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1310, 12eqtri 2178 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
141mulid1i 7883 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
15 3t2e6 8995 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1614, 15oveq12i 5839 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
178, 13, 163eqtr3i 2186 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1817oveq1i 5837 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19 6cn 8921 . . . . 5 6 ∈ ℂ
20 6re 8920 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
21 6pos 8940 . . . . . 6 0 < 6
2220, 21gt0ap0ii 8508 . . . . 5 6 # 0
2319, 22pm3.2i 270 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24 divsubdirap 8586 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
251, 2, 23, 24mp3an 1319 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26 3m1e2 8959 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2726oveq1i 5837 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
283mulid2i 7884 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2928, 15oveq12i 5839 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
303, 7dividapi 8623 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
3130oveq2i 5838 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
322, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 8650 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
331, 6recclapi 8620 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3433mulid1i 7883 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3531, 32, 343eqtr3i 2186 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3627, 29, 353eqtr2i 2184 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3718, 25, 363eqtr2i 2184 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
381, 2, 19, 22divdirapi 8647 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39 df-4 8900 . . . . 5 4 = (3 + 1)
4039oveq1i 5837 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
4117oveq1i 5837 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4238, 40, 413eqtr4ri 2189 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43 2t2e4 8993 . . . 4 (2 · 2) = 4
4443, 15oveq12i 5839 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4530oveq2i 5838 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
463, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 8650 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
473, 1, 6divclapi 8632 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4847mulid1i 7883 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4945, 46, 483eqtr3i 2186 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
5042, 44, 493eqtr2i 2184 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
5137, 50pm3.2i 270 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827  cc 7733  0cc0 7735  1c1 7736   + caddc 7738   · cmul 7740  cmin 8051   # cap 8461   / cdiv 8550  2c2 8890  3c3 8891  4c4 8892  6c6 8894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-5 8901  df-6 8902
This theorem is referenced by:  cos01bnd  11667
  Copyright terms: Public domain W3C validator