ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfpm6th GIF version

Theorem halfpm6th 8894
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 8755 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 7677 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 8751 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3re 8754 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
5 3pos 8774 . . . . . . 7 0 < 3
64, 5gt0ap0ii 8353 . . . . . 6 3 # 0
7 2ap0 8773 . . . . . 6 2 # 0
81, 1, 2, 3, 6, 7divmuldivapi 8495 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
91, 6dividapi 8468 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
109oveq1i 5750 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11 halfcn 8888 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1211mulid2i 7733 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1310, 12eqtri 2136 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
141mulid1i 7732 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
15 3t2e6 8830 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1614, 15oveq12i 5752 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
178, 13, 163eqtr3i 2144 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1817oveq1i 5750 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19 6cn 8762 . . . . 5 6 ∈ ℂ
20 6re 8761 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
21 6pos 8781 . . . . . 6 0 < 6
2220, 21gt0ap0ii 8353 . . . . 5 6 # 0
2319, 22pm3.2i 268 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24 divsubdirap 8431 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
251, 2, 23, 24mp3an 1298 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26 3m1e2 8800 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2726oveq1i 5750 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
283mulid2i 7733 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2928, 15oveq12i 5752 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
303, 7dividapi 8468 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
3130oveq2i 5751 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
322, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 8495 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
331, 6recclapi 8465 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3433mulid1i 7732 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3531, 32, 343eqtr3i 2144 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3627, 29, 353eqtr2i 2142 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3718, 25, 363eqtr2i 2142 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
381, 2, 19, 22divdirapi 8492 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39 df-4 8741 . . . . 5 4 = (3 + 1)
4039oveq1i 5750 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
4117oveq1i 5750 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4238, 40, 413eqtr4ri 2147 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43 2t2e4 8828 . . . 4 (2 · 2) = 4
4443, 15oveq12i 5752 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4530oveq2i 5751 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
463, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 8495 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
473, 1, 6divclapi 8477 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4847mulid1i 7732 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4945, 46, 483eqtr3i 2144 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
5042, 44, 493eqtr2i 2142 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
5137, 50pm3.2i 268 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587   · cmul 7589  cmin 7897   # cap 8306   / cdiv 8395  2c2 8731  3c3 8732  4c4 8733  6c6 8735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-5 8742  df-6 8743
This theorem is referenced by:  cos01bnd  11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator