ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfpm6th GIF version

Theorem halfpm6th 9098
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 8953 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 7867 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 8949 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3re 8952 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
5 3pos 8972 . . . . . . 7 0 < 3
64, 5gt0ap0ii 8547 . . . . . 6 3 # 0
7 2ap0 8971 . . . . . 6 2 # 0
81, 1, 2, 3, 6, 7divmuldivapi 8689 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
91, 6dividapi 8662 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
109oveq1i 5863 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11 halfcn 9092 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1211mulid2i 7923 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1310, 12eqtri 2191 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
141mulid1i 7922 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
15 3t2e6 9034 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1614, 15oveq12i 5865 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
178, 13, 163eqtr3i 2199 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1817oveq1i 5863 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19 6cn 8960 . . . . 5 6 ∈ ℂ
20 6re 8959 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
21 6pos 8979 . . . . . 6 0 < 6
2220, 21gt0ap0ii 8547 . . . . 5 6 # 0
2319, 22pm3.2i 270 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24 divsubdirap 8625 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
251, 2, 23, 24mp3an 1332 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26 3m1e2 8998 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2726oveq1i 5863 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
283mulid2i 7923 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2928, 15oveq12i 5865 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
303, 7dividapi 8662 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
3130oveq2i 5864 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
322, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 8689 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
331, 6recclapi 8659 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3433mulid1i 7922 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3531, 32, 343eqtr3i 2199 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3627, 29, 353eqtr2i 2197 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3718, 25, 363eqtr2i 2197 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
381, 2, 19, 22divdirapi 8686 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39 df-4 8939 . . . . 5 4 = (3 + 1)
4039oveq1i 5863 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
4117oveq1i 5863 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4238, 40, 413eqtr4ri 2202 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43 2t2e4 9032 . . . 4 (2 · 2) = 4
4443, 15oveq12i 5865 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4530oveq2i 5864 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
463, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 8689 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
473, 1, 6divclapi 8671 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4847mulid1i 7922 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4945, 46, 483eqtr3i 2199 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
5042, 44, 493eqtr2i 2197 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
5137, 50pm3.2i 270 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  2c2 8929  3c3 8930  4c4 8931  6c6 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941
This theorem is referenced by:  cos01bnd  11721
  Copyright terms: Public domain W3C validator