Theorem halfpm6th 9363

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9217	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 8124	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 9213	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3re 9216	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		3pos 9236	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
6	4, 5	gt0ap0ii 8807	. . . . . 6 ⊢ 3 # 0
7		2ap0 9235	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
8	1, 1, 2, 3, 6, 7	divmuldivapi 8951	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
9	1, 6	dividapi 8924	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
10	9	oveq1i 6027	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11		halfcn 9357	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	mullidi 8181	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
13	10, 12	eqtri 2252	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	1	mulridi 8180	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
15		3t2e6 9299	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
16	14, 15	oveq12i 6029	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
17	8, 13, 16	3eqtr3i 2260	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
18	17	oveq1i 6027	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19		6cn 9224	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
20		6re 9223	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
21		6pos 9243	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
22	20, 21	gt0ap0ii 8807	. . . . 5 ⊢ 6 # 0
23	19, 22	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24		divsubdirap 8887	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
25	1, 2, 23, 24	mp3an 1373	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26		3m1e2 9262	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
27	26	oveq1i 6027	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
28	3	mullidi 8181	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
29	28, 15	oveq12i 6029	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
30	3, 7	dividapi 8924	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
31	30	oveq2i 6028	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
32	2, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 8951	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
33	1, 6	recclapi 8921	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
34	33	mulridi 8180	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
35	31, 32, 34	3eqtr3i 2260	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
36	27, 29, 35	3eqtr2i 2258	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
37	18, 25, 36	3eqtr2i 2258	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
38	1, 2, 19, 22	divdirapi 8948	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39		df-4 9203	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40	39	oveq1i 6027	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
41	17	oveq1i 6027	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
42	38, 40, 41	3eqtr4ri 2263	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43		2t2e4 9297	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43, 15	oveq12i 6029	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
45	30	oveq2i 6028	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
46	3, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 8951	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
47	3, 1, 6	divclapi 8933	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
48	47	mulridi 8180	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
49	45, 46, 48	3eqtr3i 2260	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
50	42, 44, 49	3eqtr2i 2258	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
51	37, 50	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   − cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851  2c2 9193  3c3 9194  4c4 9195  6c6 9197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205

This theorem is referenced by:  cos01bnd  12318