Theorem halfpm6th 9475

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9329	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 8236	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 9325	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3re 9328	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		3pos 9348	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
6	4, 5	gt0ap0ii 8919	. . . . . 6 ⊢ 3 # 0
7		2ap0 9347	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
8	1, 1, 2, 3, 6, 7	divmuldivapi 9063	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
9	1, 6	dividapi 9036	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
10	9	oveq1i 6068	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11		halfcn 9469	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	mullidi 8293	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
13	10, 12	eqtri 2255	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	1	mulridi 8292	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
15		3t2e6 9411	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
16	14, 15	oveq12i 6070	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
17	8, 13, 16	3eqtr3i 2263	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
18	17	oveq1i 6068	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19		6cn 9336	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
20		6re 9335	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
21		6pos 9355	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
22	20, 21	gt0ap0ii 8919	. . . . 5 ⊢ 6 # 0
23	19, 22	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24		divsubdirap 8999	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
25	1, 2, 23, 24	mp3an 1374	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26		3m1e2 9374	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
27	26	oveq1i 6068	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
28	3	mullidi 8293	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
29	28, 15	oveq12i 6070	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
30	3, 7	dividapi 9036	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
31	30	oveq2i 6069	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
32	2, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 9063	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
33	1, 6	recclapi 9033	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
34	33	mulridi 8292	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
35	31, 32, 34	3eqtr3i 2263	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
36	27, 29, 35	3eqtr2i 2261	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
37	18, 25, 36	3eqtr2i 2261	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
38	1, 2, 19, 22	divdirapi 9060	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39		df-4 9315	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40	39	oveq1i 6068	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
41	17	oveq1i 6068	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
42	38, 40, 41	3eqtr4ri 2266	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43		2t2e4 9409	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43, 15	oveq12i 6070	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
45	30	oveq2i 6069	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
46	3, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 9063	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
47	3, 1, 6	divclapi 9045	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
48	47	mulridi 8292	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
49	45, 46, 48	3eqtr3i 2263	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
50	42, 44, 49	3eqtr2i 2261	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
51	37, 50	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   − cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963  2c2 9305  3c3 9306  4c4 9307  6c6 9309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317

This theorem is referenced by:  cos01bnd  12469