Theorem halfpm6th 9059

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 8914	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 7828	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 8910	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3re 8913	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		3pos 8933	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
6	4, 5	gt0ap0ii 8508	. . . . . 6 ⊢ 3 # 0
7		2ap0 8932	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
8	1, 1, 2, 3, 6, 7	divmuldivapi 8650	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
9	1, 6	dividapi 8623	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
10	9	oveq1i 5837	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11		halfcn 9053	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	mulid2i 7884	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
13	10, 12	eqtri 2178	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	1	mulid1i 7883	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
15		3t2e6 8995	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
16	14, 15	oveq12i 5839	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
17	8, 13, 16	3eqtr3i 2186	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
18	17	oveq1i 5837	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19		6cn 8921	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
20		6re 8920	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
21		6pos 8940	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
22	20, 21	gt0ap0ii 8508	. . . . 5 ⊢ 6 # 0
23	19, 22	pm3.2i 270	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24		divsubdirap 8586	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
25	1, 2, 23, 24	mp3an 1319	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26		3m1e2 8959	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
27	26	oveq1i 5837	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
28	3	mulid2i 7884	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
29	28, 15	oveq12i 5839	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
30	3, 7	dividapi 8623	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
31	30	oveq2i 5838	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
32	2, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 8650	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
33	1, 6	recclapi 8620	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
34	33	mulid1i 7883	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
35	31, 32, 34	3eqtr3i 2186	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
36	27, 29, 35	3eqtr2i 2184	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
37	18, 25, 36	3eqtr2i 2184	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
38	1, 2, 19, 22	divdirapi 8647	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39		df-4 8900	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40	39	oveq1i 5837	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
41	17	oveq1i 5837	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
42	38, 40, 41	3eqtr4ri 2189	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43		2t2e4 8993	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43, 15	oveq12i 5839	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
45	30	oveq2i 5838	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
46	3, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 8650	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
47	3, 1, 6	divclapi 8632	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
48	47	mulid1i 7883	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
49	45, 46, 48	3eqtr3i 2186	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
50	42, 44, 49	3eqtr2i 2184	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
51	37, 50	pm3.2i 270	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827  ℂcc 7733  0cc0 7735  1c1 7736   + caddc 7738   · cmul 7740   − cmin 8051   # cap 8461   / cdiv 8550  2c2 8890  3c3 8891  4c4 8892  6c6 8894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-5 8901  df-6 8902

This theorem is referenced by:  cos01bnd  11667