Theorem halfpm6th 9292

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9146	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		ax-1cn 8053	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		2cn 9142	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		3re 9145	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		3pos 9165	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
6	4, 5	gt0ap0ii 8736	. . . . . 6 ⊢ 3 # 0
7		2ap0 9164	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
8	1, 1, 2, 3, 6, 7	divmuldivapi 8880	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
9	1, 6	dividapi 8853	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 3) = 1
10	9	oveq1i 5977	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11		halfcn 9286	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
12	11	mullidi 8110	. . . . . 6 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
13	10, 12	eqtri 2228	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
14	1	mulridi 8109	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
15		3t2e6 9228	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
16	14, 15	oveq12i 5979	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
17	8, 13, 16	3eqtr3i 2236	. . . 4 ⊢ (1 / 2) = (3 / 6)
18	17	oveq1i 5977	. . 3 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19		6cn 9153	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
20		6re 9152	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
21		6pos 9172	. . . . . 6 ⊢ 0 < 6
22	20, 21	gt0ap0ii 8736	. . . . 5 ⊢ 6 # 0
23	19, 22	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24		divsubdirap 8816	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
25	1, 2, 23, 24	mp3an 1350	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26		3m1e2 9191	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
27	26	oveq1i 5977	. . . 4 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
28	3	mullidi 8110	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) = 2
29	28, 15	oveq12i 5979	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
30	3, 7	dividapi 8853	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
31	30	oveq2i 5978	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
32	2, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 8880	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
33	1, 6	recclapi 8850	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
34	33	mulridi 8109	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
35	31, 32, 34	3eqtr3i 2236	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
36	27, 29, 35	3eqtr2i 2234	. . 3 ⊢ ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
37	18, 25, 36	3eqtr2i 2234	. 2 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
38	1, 2, 19, 22	divdirapi 8877	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39		df-4 9132	. . . . 5 ⊢ 4 = (3 + 1)
40	39	oveq1i 5977	. . . 4 ⊢ (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
41	17	oveq1i 5977	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
42	38, 40, 41	3eqtr4ri 2239	. . 3 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43		2t2e4 9226	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43, 15	oveq12i 5979	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
45	30	oveq2i 5978	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
46	3, 1, 3, 3, 6, 7	divmuldivapi 8880	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
47	3, 1, 6	divclapi 8862	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
48	47	mulridi 8109	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
49	45, 46, 48	3eqtr3i 2236	. . 3 ⊢ ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
50	42, 44, 49	3eqtr2i 2234	. 2 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
51	37, 50	pm3.2i 272	1 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   · cmul 7965   − cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780  2c2 9122  3c3 9123  4c4 9124  6c6 9126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134

This theorem is referenced by:  cos01bnd  12184