ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  halfpm6th GIF version

Theorem halfpm6th 8606
Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
halfpm6th (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th
StepHypRef Expression
1 3cn 8468 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
2 ax-1cn 7417 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 2cn 8464 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
4 3re 8467 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
5 3pos 8487 . . . . . . 7 0 < 3
64, 5gt0ap0ii 8080 . . . . . 6 3 # 0
7 2ap0 8486 . . . . . 6 2 # 0
81, 1, 2, 3, 6, 7divmuldivapi 8213 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = ((3 · 1) / (3 · 2))
91, 6dividapi 8186 . . . . . . 7 (3 / 3) = 1
109oveq1i 5644 . . . . . 6 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 · (1 / 2))
11 halfcn 8600 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
1211mulid2i 7470 . . . . . 6 (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
1310, 12eqtri 2108 . . . . 5 ((3 / 3) · (1 / 2)) = (1 / 2)
141mulid1i 7469 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
15 3t2e6 8542 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1614, 15oveq12i 5646 . . . . 5 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
178, 13, 163eqtr3i 2116 . . . 4 (1 / 2) = (3 / 6)
1817oveq1i 5644 . . 3 ((1 / 2) − (1 / 6)) = ((3 / 6) − (1 / 6))
19 6cn 8475 . . . . 5 6 ∈ ℂ
20 6re 8474 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
21 6pos 8494 . . . . . 6 0 < 6
2220, 21gt0ap0ii 8080 . . . . 5 6 # 0
2319, 22pm3.2i 266 . . . 4 (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
24 divsubdirap 8149 . . . 4 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6)))
251, 2, 23, 24mp3an 1273 . . 3 ((3 − 1) / 6) = ((3 / 6) − (1 / 6))
26 3m1e2 8512 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2726oveq1i 5644 . . . 4 ((3 − 1) / 6) = (2 / 6)
283mulid2i 7470 . . . . 5 (1 · 2) = 2
2928, 15oveq12i 5646 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 6)
303, 7dividapi 8186 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
3130oveq2i 5645 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 / 3) · 1)
322, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 8213 . . . . 5 ((1 / 3) · (2 / 2)) = ((1 · 2) / (3 · 2))
331, 6recclapi 8183 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3433mulid1i 7469 . . . . 5 ((1 / 3) · 1) = (1 / 3)
3531, 32, 343eqtr3i 2116 . . . 4 ((1 · 2) / (3 · 2)) = (1 / 3)
3627, 29, 353eqtr2i 2114 . . 3 ((3 − 1) / 6) = (1 / 3)
3718, 25, 363eqtr2i 2114 . 2 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
381, 2, 19, 22divdirapi 8210 . . . 4 ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
39 df-4 8454 . . . . 5 4 = (3 + 1)
4039oveq1i 5644 . . . 4 (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
4117oveq1i 5644 . . . 4 ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
4238, 40, 413eqtr4ri 2119 . . 3 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
43 2t2e4 8540 . . . 4 (2 · 2) = 4
4443, 15oveq12i 5646 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (4 / 6)
4530oveq2i 5645 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 / 3) · 1)
463, 1, 3, 3, 6, 7divmuldivapi 8213 . . . 4 ((2 / 3) · (2 / 2)) = ((2 · 2) / (3 · 2))
473, 1, 6divclapi 8195 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
4847mulid1i 7469 . . . 4 ((2 / 3) · 1) = (2 / 3)
4945, 46, 483eqtr3i 2116 . . 3 ((2 · 2) / (3 · 2)) = (2 / 3)
5042, 44, 493eqtr2i 2114 . 2 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
5137, 50pm3.2i 266 1 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   · cmul 7334  cmin 7632   # cap 8034   / cdiv 8113  2c2 8444  3c3 8445  4c4 8446  6c6 8448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-5 8455  df-6 8456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator